UPThèses

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude d'une équation parabolique quasilinéaire dans laquelle la diffusion est paramétrée par la longueur des différentes interactions non locales. Pour ce qui est du problème stationnaire associé, après avoir montré des résultats d'existence, d' unicité et de continuité. Nous présentons ensuite un critère général d' inversibilité dépendant du paramètre, ce critère très important va par la suite nous permettre en exemple d'application, de retrouver des résultats d'inversibilité déjà connus lorsque le paramètre est égale au diamètre du domaine. Nous donnons ensuite un résultat de principe de comparaisons de solutions symétriques radiales et une généralisation du compte du nombre de solutions. Enfin nous donnons quelques applications numériques utilisant une méthode de point fixe et de Newton pour illustrer ces résultats. Pour le problème d'évolution, après avoir montré l'existence d'un attracteur global associé à notre problème, nous démontrons une estimation L∞ de la solution en fonction d'estimations Lq, q > 1 utilisant des itérations de type Moser

Les problèmes de sélection de modèles se posent couramment dans un grand nombre de domaines applicatifs tels que la compression de données ou le traitement du signal et de l'image. Un des outils les plus utilisés pour résoudre ces problèmes se présente sous la forme d'une quantité réelle à minimiser appelée critère d'information ou critère entropique pénalisé. La principale motivation de ce travail de thèse est de justifier l'utilisation d'un tel critère face à un problème de sélection de modèles typiquement issu d'un contexte de traitement du signal. La justification attendue se doit, elle, d'avoir un solide fondement mathématique. Nous abordons aussi le problème classique de la détermination de l'ordre d'une autorégression. La régression gaussienne, permettant de détecter les harmoniques principales d'un signal bruité, est également abordée. Pour ces problèmes, nous donnons un critère dont l'utilisation est justifiée par la minimisation du coût résultant de l'estimation obtenue. Les chaînes de Markov multiples modèlisent la plupart des signaux discrets, comme les séquences de lettres ou les niveaux de gris d'une image. Nous nous intéressons au problème de la détermination de l'ordre d'une telle chaîne. Dans la continuité de ce problème nous considérons celui, a priori éloigné, de l'estimation d' une densité par un histogramme. Dans ces deux domaines, nous justifions l' utilisation d' un critère par des notions de codage auxquelles nous appliquons une forme simple du principe de " Minimum description Length ". Nous nous efforçons également, à travers ces différents domaines d'application, de présenter des méthodes alternatives d' utilisation des critères d' information. Ces méthodes, dites comparatives, présentent une complexité d' utilisation moindre que les méthodes rencontrées habituellement, tout en permettant une description précise du modèle.