UPThèses

La notion de l'approximation rationnelle est normalement conçue pour la discrétisation en temps. Dans cette thèse nous mélangeons cette notion avec la notion de la convergence au sens de Kato qui découle d'une discrétisation en espace pour l'équation de transport neutronique. Nous appliquons cette procedure aux schémas d'Euler explicite et implicite, Crank-Nicolson et Prédicateur-Correcteur qui ont le degré de convergence 1,2 et 3 au sens de l'approximation rationnelle. Pour démontrer la convergence nous utiliserons le théorème de Cherno et nous donnons aussi des illustrations numérique pour justifier ces degrés de convergence. Dans le dernier chapitre nous donnons quelques nouvelles généralisations des théorèmes de point fixe de type Schauder et de type Krasnoselskii qui se basent sur la notion de la compacité faible sur des espaces Fréchet ayant la propriété de Dunford- Pettis et sur la notion de la U-équicontraction.

Cette thèse a pour objectif de reconstruire la conductivité isotrope d'un domaine borné à partir des données sur le bord. Pour cela, nous considérons le problème de conductivité inverse et on utilise les méthodes du Dbar de Nachman et de Brown-Uhlmann. A partir des données aux bords, ces méthodes consistent à calculer une fonction complexe dite la transformée scattering, ensuite calculer la conductivité en résolvant une équation (qui contient la transformée scattering) dite l'équation Dbar.Pour des raisons de stabilité, nous approchons les transformées scattering par plusieurs façons et nous étudions l'erreur de ces approximations. Nous montrons la stabilité des méthodes Dbar via les approximations des transformées scattering. Nous étudions en détails le cas des conductivités radiales et nous obtenons des expressions explicites des approximations des transformées scattering. Nous utilisons la méthode de Vainikko pour la résolution numérique de l'équation Dbar et nous introduisons un schéma de point fixe et nous étudions sa convergence. Les résultats numériques obtenus montrent que la méthode est efficace et justifient nos résultats théoriques.

Dans cette thèse, nous étudions d'un point de vue numérique des équations de Cahn-Hilliard non isotrope et non isotherme modélisées d'après une approche de Gurtin. Concernant l'équation de Cahn-Hilliard-Gurtin non isotrope, dont la structure est proche d'un flot de gradient, nous proposons une discrétisation en espace par éléments finis mixtes, et en même temps par le schéma d'Euler implicite. Nous établissons la stabilité du schéma semi-discrétisé en espace et du schéma complètement discrétisé pour une non linéarité polynômiale. Nous établissons également, pour ces mêmes schémas, des estimations d'erreurs optimales en norme H1 et en norme L2. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques en dimension un et deux d'espace, qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres. Concernant le modèle de Cahn-Hilliard-Gurtin non isotherme, pour lequel il n'existe pas de résultat d'existence locale, nous proposons un schéma totalement discrétisé qui se révèle stable en pratique. Des simulations numériques en dimension un d'espace permettent d'observer des comportements asymptotiques proches du cas isotherme.

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude d'une équation parabolique quasilinéaire dans laquelle la diffusion est paramétrée par la longueur des différentes interactions non locales. Pour ce qui est du problème stationnaire associé, après avoir montré des résultats d'existence, d' unicité et de continuité. Nous présentons ensuite un critère général d' inversibilité dépendant du paramètre, ce critère très important va par la suite nous permettre en exemple d'application, de retrouver des résultats d'inversibilité déjà connus lorsque le paramètre est égale au diamètre du domaine. Nous donnons ensuite un résultat de principe de comparaisons de solutions symétriques radiales et une généralisation du compte du nombre de solutions. Enfin nous donnons quelques applications numériques utilisant une méthode de point fixe et de Newton pour illustrer ces résultats. Pour le problème d'évolution, après avoir montré l'existence d'un attracteur global associé à notre problème, nous démontrons une estimation L∞ de la solution en fonction d'estimations Lq, q > 1 utilisant des itérations de type Moser

Les problèmes de sélection de modèles se posent couramment dans un grand nombre de domaines applicatifs tels que la compression de données ou le traitement du signal et de l'image. Un des outils les plus utilisés pour résoudre ces problèmes se présente sous la forme d'une quantité réelle à minimiser appelée critère d'information ou critère entropique pénalisé. La principale motivation de ce travail de thèse est de justifier l'utilisation d'un tel critère face à un problème de sélection de modèles typiquement issu d'un contexte de traitement du signal. La justification attendue se doit, elle, d'avoir un solide fondement mathématique. Nous abordons aussi le problème classique de la détermination de l'ordre d'une autorégression. La régression gaussienne, permettant de détecter les harmoniques principales d'un signal bruité, est également abordée. Pour ces problèmes, nous donnons un critère dont l'utilisation est justifiée par la minimisation du coût résultant de l'estimation obtenue. Les chaînes de Markov multiples modèlisent la plupart des signaux discrets, comme les séquences de lettres ou les niveaux de gris d'une image. Nous nous intéressons au problème de la détermination de l'ordre d'une telle chaîne. Dans la continuité de ce problème nous considérons celui, a priori éloigné, de l'estimation d' une densité par un histogramme. Dans ces deux domaines, nous justifions l' utilisation d' un critère par des notions de codage auxquelles nous appliquons une forme simple du principe de " Minimum description Length ". Nous nous efforçons également, à travers ces différents domaines d'application, de présenter des méthodes alternatives d' utilisation des critères d' information. Ces méthodes, dites comparatives, présentent une complexité d' utilisation moindre que les méthodes rencontrées habituellement, tout en permettant une description précise du modèle.