UPThèses

Ce rapport de thèse est consacré à l'étude de modèles de champ de phase de type Caginalp. Nous considérons ici, deux parties : la première étant une généralisation du modèle de champ de phase de Caginalp basée sur la loi de Maxwell-Cattaneo et la seconde traite le même modèle dans sa version conservative. L'étude dans les deux parties est faite dans un domaine borné. De plus, dans la première partie on distingue les cas de conditions aux bords de type Dirichlet ainsi que Neumann, tandis que dans la deuxième partie le modèle est étudié uniquement avec les conditions Dirichlet (avec un potentiel régulier puis un potentiel singulier). Tout d'abord, l'existence, l'unicité, et la régularité des solutions sont analysées aux moyens d'arguments classiques. Ensuite, l'existence d'ensembles bornés absorbants est établie. Enfin, dans certains cas, l'existence de l'attracteur global et d'attracteurs exponentiels sont analysés.

Dans cette thèse, on étudie l'existence, l'unicité et la régularité des solutions d'équation de type Cahn-Hilliard ainsi que son comportement asymptotique en termes d'existence de l'attracteur global et d'un attracteur exponentiel. Cette équation est considérée dans un domaine borné et régulier pour différents types de nonlinéarités et de conditions au bord. D'abord, on étudie l'équation avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une nonlinéarité régulière. Après, on considère une perturbation du problème et on démontre l'existence d'une famille robuste d'attracteurs exponentiels lorsque ε tend vers 0. Ensuite, on étudie l'équation avec des conditions dynamiques sur le bord. On considère tout d'abord une nonlinéarité régulière et on donne une étude théorique et numérique. Après, on illustre ces résultats par des simulations numériques en dimension deux d'espace qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres. On termine par une étude du modèle considéré avec une nonlinéarité singulière que l'on approche par des fonctions régulières et on introduit une notion de solution appropriée.

Le thème de cette thèse est la théorie spatiale des valeurs extrêmes, et les objets principalement étudiés sont les processus max-stables à trajectoires continues. Nous commençons par déterminer la convergence des maximums de processus stochastiques indépendants, en utilisant la convergence de mesures empiriques vers des processus ponctuels de Poisson. Ensuite, nous déterminons les lois conditionnelles des processus max infiniment divisibles (max-i.d). La représentation des processus max-i.d par des processus ponctuels de Poisson permet l'introduction de notions telles que les fonctions extrémales et le hitting scénario qui permettent d'aboutir au résultat. Les processus max-stables étant des processus max-i.d, nous proposons un algorithme de simulation conditionnelle pour les champs max-stables puis nous l'utilisons pour des applications avec des données de précipitations autour de Zurich et de températures en Suisse. Nous trouvons aussi, une majoration du coefficient de β-mélange entre les restrictions d'un processus max-i.d sur deux sous-ensembles fermés et disjoints d'un espace métrique localement compact. Cette majoration permet d'obtenir de nouveaux critères pour le théorème de la limite central des processus stationnaires mélangeant. Enfin, nous terminons en démontrant qu'un processus stationnaire max-stable vérifiant la propriété de Markov est, quitte à renverser le temps, un processus max-autorégressif d’ordre 1.

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude des solutions stationnaires, en dimension 1 d'espace, d'un modèle de champs de phase cristallin introduit par Elder en 2002. Ainsi, nous prouvons, par la méthode de réduction de Lyapunov-Schmidt et la technique des multiparamètres, l'existence de courbes de solutions bifurquantes stationnaires lorsque le noyau de l'opérateur linéarisé, au voisinage de la solution triviale est de dimension 2. Une parenthèse est ouverte pour la comparaison de l'énergie de la solution bifurquante par rapport à celle la solution triviale. Aussi, grâce au principe de la stabilité réduite, nous fournissons des ensembles précis de valeurs des paramètres de bifurcation pour lesquelles les solutions obtenues sont stables ou instables. Ces résultats théoriques sont corroborés par plusieurs tests numériques. Par ailleurs, dans le cas classique du noyau unidimensionel, nous établissons des diagrammes de phases permettant de comprendre les différentes orientations de courbes de solutions non triviales au voisinage de chaque point de bifurcation.

Ce rapport de thèse est consacré à l'étude de modèles de champ de phase de type Caginalp. Nous considérons ici, deux modèles : le premier étant une généralisation du modèle de champ de phase de Caginalp basée sur une généralisation de la loi de Maxwell-Cattaneo et le second une généralisation provenant de la théorie de la conduction de chaleur introduite par Chen et Gurtin. L'étude du premier modèle est faite aussi bien dans un domaine borné (avec un potentiel régulier puis dans le cas d'un potentiel non régulier), que dans un domaine non borné, en l'occurrence R3. Le second modèle est un problème de champ de phase avec un couplage (linéaire et non linéaire). Tout d'abord, l'existence, l'unicité et la régularité des solutions sont analysées aux moyens d'arguments classiques. Ensuite, l'existence d'ensembles bornés absorbants et compacts attractifs est établie, assurant ainsi l'existence de l'attracteur global. Enfin, dans certains cas, l'existence d'attracteurs exponentiels, ainsi que le comportement spatial des solutions lorsque le domaine spatial est un cylindre semi-infini tri-dimensionnel, sont analysés.

Cette thèse est divisée en deux parties principales : La première partie concerne la déformation plastique d'un matériau contraint. Nous commençons cette partie par une introduction physique sur la dislocation et son rôle dans l'étude de la déformation plastique. Nous exposons ensuite deux types de modélisation de la déformation plastique ce qui nous conduit à deux équations différentielles à retard de Mecking-Lüke-Grilhé. Nous présentons une analyse mathématique complète des deux modèles linéaire et non linéaire. Nous terminons cette partie par des tests numériques et une comparaison des deux modèles. La deuxième partie de la thèse traite l'instabilité de Rayleigh-Plateau. Cette étude porte sur les instabilités de surface d'un pore cylindrique sans contraintes. Nous nous intéressons à une EDP parabolique non linéaire d'ordre quatre, obtenue à partir d'une équation d'évolution des films minces. Le résultat principal est l'existence globale de la solution et la convergence vers la valeur moyenne de la donnée initiale en temps long. L'étude théorique est aussi appuyée comme dans la première partie par une validation numérique.

L'objectif de notre recherche est d'étudier l'existence et la régularité des solutions pour des problèmes de valeurs propres faisant intervenir un opérateur →p-multivoque A : V → P(V*) sur un domaine régulier Ω C Rᶰ. Par l'intermédiaire des N-fonctions, nous construisons un opérateur →p-multivoque de Leray-Lions "fortement monotone" sur un espace d'Orlicz-Sobolev anisotrope. Nous signalons que la formulation théorique des problèmes associés à cet opérateur repose essentiellement sur la notion de sous-différentielle de Clarke, pour cela, nous donnons des nouvelles méthodes variationelles qui correspondent à la résolution de ces problèmes dans le cas "sous-critique" dans lequel la compacité joue un rôle important puis dans le cas critique lorsque nous perdons la compacité. Différentes applications sont données pour illustrer nos résultats abstraits, par exemple, un opérateur anisotrope aux exposants variables et un opérateur avec un poids de type Hardy.

L'objectif de notre recherche est d'étudier l'existence d'attracteurs de dimension finie pour trois modèles d'équations aux dérivées partielles non linéaires : Navier-Stokes, Cahn-Hilliard et Cahn-Hilliard visqueux. En outre, nous étudions ces modèles dans les cas autonome et non autonome. Dans le but de définir les attracteurs pour chaque modèle nous avons démontré l'existence et l'unicité de la solution, puis l'existence d'un ensemble borné absorbant. Nous avons démontré également l'existence d'un attracteur global et d'attracteurs exponentiels dans le cas autonome, ainsi que les attracteurs exponentiels, uniforme, rétrograde et exponentiels rétrogrades dans le cas non autonome. Par ailleurs, nous avons démontré que pour les deux derniers modèles, l'attracteur pullback est unique et de dimension finie. L'existence d'un paramètre ε, dans le modèle de Cahn-Hilliard visqueux, nous a conduit à construire une famille robuste d'attracteurs exponentiels en étudiant la limite ε tend vers zéro.

Dans cette thèse, nous résolvons un problème inverse de type Cauchy associé à l'opérateur biharmonique. Pour des données compatibles, comme ce problème est mal posé au sens d'Hadamard, nous utilisons la méthode de régularisation évanescente. Elle est itérative. Son originalité est de faire intervenir, à chaque itération, un problème d'optimisation bien posé qui dépend d'un terme de régularisation dont les effets se dissipent à la limite du processus itératif. Cette limite est la solution du problème de Cauchy. Pour adapter des algorithmes élaborés pour les problèmes de Cauchy associés au laplacien, nous factorisons le problème initial en deux problèmes inverses de Cauchy pour l'opérateur harmonique. Les résultats principaux sont la convergence de la solution discrète vers la solution continue et l'efficacité de la méthode à gérer numériquement, via les éléments finis, le problème factorisé sur différents domaines, même lorsque les données sont bruitées.

Cette thèse traite des fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien et porte en particulier sur des calculs explicites de prix de bonds zérocoupon associés au modèle de taux d'intérêt de Dothan. En utilisant des méthodes de noyaux de la chaleur et de résolution d'équations de Fokker-Planck, nous donnons des formules explicites de densités de probabilités ou de leurs transformées de Laplace. Les différentes formules intégrales obtenues complètent celles de l'article original "On the Term Structure of Interest Rates" (L. U.Dothan). La méthode utilisée est directe et implique notamment une nouvelle représentation intégrale pour le module au carré de la fonction Gamma. Nous étudions ensuite les applications à la physique et aux mathématiques financières des résultats obtenus pour les fonctionnelles périodiques et hyperboliques du mouvement brownien. Nous traitons aussi de calculs de sensibilités d'options par le calcul de Malliavin. Nous donnons des expressions explicites de l'indicateur delta pour des prix d'options asiatiques et des obligations reposant sur des taux courts traités dans la première partie de la thèse.