UPThèses

Nous décrivons une procédure numérique pour le recalage d'IRM cérébrales 3D. Le problème d'appariement est abordé à travers la distinction usuelle entre le modèle de déformation et le critère d'appariement. Le modèle de déformation est celui de l'anatomie computationnelle, fondé sur un groupe de difféomorphismes engendrés en intégrant des champs de vecteurs. Le décalage entre les images est évalué en comparant les lignes de niveau de ces images, représentées par un courant différentiel dans le dual d'un espace de champs de vecteurs. Le critère d'appariement obtenu est non local et rapide à calculer. On se place dans l'ensemble des difféomorphismes pour rechercher une déformation reliant les deux images. Pour cela, on minimise le critère en suivant le principe de l'algorithme sous-optimal. L'efficacité de l'algorithme est renforcée par une description eulérienne et périodique du mouvement. L'algorithme est appliqué pour le recalage d'images IRM cérébrale 3d, la procédure numérique menant à ces résultats est intégralement décrite. Nos travaux concernent aussi l'analyse des propriétés de l'algorithme. Pour cela, nous avons simplifié l'équation représentant l'évolution de l'image et étudié l'équation simplifiée en utilisant la théorie des solutions de viscosité. Nous étudions aussi le problème de détection de rupture dans la variance d'un signal aléatoire gaussien. La spécificité de notre modèle vient du cadre infill, ce qui signifie que la distribution des données dépend de la taille de l'échantillon. L'estimateur de l'instant de rupture est défini comme le point maximisant une fonction de contraste. Nous étudions la convergence de cette fonction et ensuite la convergence de l'estimateur associé. L'application la plus directe concerne l'estimation de changement dans le paramètre de Hurst d'un mouvement brownien fractionnaire. L'estimateur dépend d'un paramètre p > 0 et nos résultats montrent qu'il peut être intéressant de choisir p < 2.

Cette thèse, comporte deux parties distinctes. Dans la première partie, on étudie l'existence et l'inexistence d'une inégalité qu'on a appelée l'inégalité de Hopf Uniforme (IHU), pour une équation linéaire de la forme Lv = f à coefficients bornés mesurables et sous les conditions de Dirichlet homogènes. L'IHU est une variante du principe de maximum, on l'a appliquée dans la preuve de la régularité W1;p 0 pour un problème semi-linéaire singulier : Lu = F(u) où les coefficients de L sont dans l'espace vmor (fonctions à oscillation moyenne évanescente) et F(u) est singulier en u = 0 F(0) = +∞. De plus, si les coefficients sont lipschitziens, on prouve que la régularité optimale du gradient de la solution u est bmor (fonctions à oscillation moyenne bornée i.e Grad u dans bmor). Dans la seconde partie, on s'intéresse à la régularité du système d'élasticité (équations stationnaires des ondes élastiques) avec une fonction source singulière au sens qu'elle n’est qu'intégrable par rapport à la fonction distance au bord du domaine. Via la dualité, nous montrons, selon ~f , que le problème admet une solution dite très faible dont le gradient n'est pas nécessairement intégrable sur tout le domaine mais uniquement localement. Nous déterminons aussi les fonctions vectorielles ~f pour lesquelles, ~u a son gradient intégrable sur tout l'espace de travail.

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de modèles en séparation de phase qui tiennent compte d'effets d'anisotropie. Ceci est pertinent, par exemple, pour l'évolution de cristaux dans leur matrice liquide pour lesquels ces effets d'anisotropie sont très forts. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne certains modèles de séparation de phase qui, en particulier, décrivent la formation de motifs dendritiques. D'abord, on étudie les équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn qui prennent en compte les effets d'anisotropie forts en dimension un avec des conditions de type Neumann sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial. En particulier, ces modèles contiennent un terme supplémentaire appelé régularisation de Willmore. Ensuite, on étudie ces modèles avec des conditions de type périodique (respectivement, Dirichlet) sur le bord pour l'équation de Cahn-Hilliard (respectivement, d'Allen-Cahn) mais en dimension spatiales plus élevées. Finalement, on étudie la dynamique des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn visqueux avec des conditions de type Neumann et Dirichlet respectivement sur le bord et une non linéarité régulière et en plus, la présence de simulations numériques qui montrent les effets du terme de viscosité sur l'anisotropie et l'isotropie dans l'équation de Cahn-Hilliard. Dans le dernier chapitre, on étudie le comportement en temps long en termes d'attracteurs de dimension finie, d'une classe d'équations doublement non linéaires de type Allen-Cahn avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité singulière.

La thèse se compose de deux parties : une partie consacrée à l'estimation des quantiles conditionnels et une autre à l'apprentissage supervisé. La partie "Estimation des quantiles conditionnels" est organisée en 3 chapitres : Le chapitre 1 est consacré à une introduction sur la régression linéaire locale, présentant les méthodes les plus utilisées, pour estimer le paramètre de lissage. Le chapitre 2 traite des méthodes existantes d’estimation nonparamétriques du quantile conditionnel ; Ces méthodes sont comparées, au moyen d’expériences numériques sur des données simulées et des données réelles. Le chapitre 3 est consacré à un nouvel estimateur du quantile conditionnel et que nous proposons ; Cet estimateur repose sur l'utilisation d'un noyau asymétrique en x. Sous certaines hypothèses, notre estimateur s'avère plus performant que les estimateurs usuels.
La partie "Apprentissage supervisé" est, elle aussi, composée de 3 chapitres : Le chapitre 4 est une introduction à l’apprentissage statistique et les notions de base utilisées, dans cette partie. Le chapitre 5 est une revue des méthodes conventionnelles de classification supervisée. Le chapitre 6 est consacré au transfert d'un modèle d'apprentissage semi-paramétrique. La performance de cette méthode est montrée par des expériences numériques sur des données morphométriques et des données de credit-scoring.

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de quelques généralisations de l'équation de Cahn-Hilliard. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution de ces modèles ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne des modèles appliqués à la retouche d'images. D'abord, on étudie la dynamique de l'équation de Bertozzi-Esedoglu-Gillette-Cahn-Hilliard avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité régulière de type polynomial et on propose un schéma numérique avec une méthode de seuil efficace pour le problème de la retouche et très rapide en terme de temps de convergence. Ensuite, on étudie ce modèle avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité singulière de type logarithmique et on donne des simulations numériques avec seuil qui confirment que les résultats obtenus avec une nonlinéarité de type logarithmique sont meilleurs que ceux obtenus avec une nonlinéarité de type polynomial. Finalement, on propose un modèle basé sur le système de Cahn-Hilliard pour la retouche d'images colorées. La deuxième partie de la thèse est consacrée à des applications en biologie et en chimie. On étudie la convergence de la solution d'une généralisation de l'équation de Cahn-Hilliard avec un terme de prolifération, associée à des conditions aux limites de type Neumann et une nonlinéarité régulière. Dans ce cas, on démontre que soit la solution explose en temps fini soit elle existe globalement en temps. Par ailleurs, on donne des simulations numériques qui confirment les résultats théoriques obtenus. On termine par l'étude de l'équation de Cahn-Hilliard avec un terme source et une nonlinéarité régulière. Dans cette étude, on considère le modèle à la fois avec des conditions aux limites de type Neumann et de type Dirichlet.

Ce travail de thèse porte sur les outils statistiques pour l'évaluation des maxima de charges de sloshing dans les cuves de méthaniers. Selon les caractéristiques du navire, son chargement et les conditions de navigation, un ballotement hydrodynamique est observé à l'intérieur des cuves, phénomène communément appelé sloshing. La détermination des charges qui s'appliquent à la structure est basée sur des mesures de pression d'impact au moyen d'essais sur maquette. Les maxima de pression par impact, extraits des mesures, sont étudiés. La durée d'un essai est équivalente à 5 heures au réel et insuffisante pour déterminer des maxima de pression associés à de grandes périodes de retour (40 ans). Un modèle probabiliste est nécessaire pour extrapoler les maxima de pression. Le modèle usuel est une loi de Weibull. Comme ce sont les valeurs extrêmes des échantillons qui nous intéressent, les ajustements sont aussi effectués par les lois des valeurs extrêmes et de Pareto généralisées via les méthodes de maximum par bloc et d'excès au-dessus d'un seuil. L'originalité du travail repose sur l'emploi d'un système alternatif, plus pertinent pour la capture des maxima de pression et d'une quantité de 480 heures de mesures disponible pour les mêmes conditions d'essai. Cela fournit une distribution de référence pour les maxima de pression et nous permet d'évaluer la pertinence des modèles sélectionnés. Nous insistons sur l'importance d'évaluer la qualité des ajustements par des tests statistiques et de quantifier les incertitudes sur les estimations obtenues. La méthodologie fournie a été implémentée dans un logiciel nommé Stat_R qui facilite la manipulation et le traitement des résultats.

Ce rapport de thèse est consacré à l'étude de modèles de champ de phase de type Caginalp. Nous considérons ici, deux parties : la première étant une généralisation du modèle de champ de phase de Caginalp basée sur la loi de Maxwell-Cattaneo et la seconde traite le même modèle dans sa version conservative. L'étude dans les deux parties est faite dans un domaine borné. De plus, dans la première partie on distingue les cas de conditions aux bords de type Dirichlet ainsi que Neumann, tandis que dans la deuxième partie le modèle est étudié uniquement avec les conditions Dirichlet (avec un potentiel régulier puis un potentiel singulier). Tout d'abord, l'existence, l'unicité, et la régularité des solutions sont analysées aux moyens d'arguments classiques. Ensuite, l'existence d'ensembles bornés absorbants est établie. Enfin, dans certains cas, l'existence de l'attracteur global et d'attracteurs exponentiels sont analysés.

Dans cette thèse, on étudie l'existence, l'unicité et la régularité des solutions d'équation de type Cahn-Hilliard ainsi que son comportement asymptotique en termes d'existence de l'attracteur global et d'un attracteur exponentiel. Cette équation est considérée dans un domaine borné et régulier pour différents types de nonlinéarités et de conditions au bord. D'abord, on étudie l'équation avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une nonlinéarité régulière. Après, on considère une perturbation du problème et on démontre l'existence d'une famille robuste d'attracteurs exponentiels lorsque ε tend vers 0. Ensuite, on étudie l'équation avec des conditions dynamiques sur le bord. On considère tout d'abord une nonlinéarité régulière et on donne une étude théorique et numérique. Après, on illustre ces résultats par des simulations numériques en dimension deux d'espace qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres. On termine par une étude du modèle considéré avec une nonlinéarité singulière que l'on approche par des fonctions régulières et on introduit une notion de solution appropriée.

Le thème de cette thèse est la théorie spatiale des valeurs extrêmes, et les objets principalement étudiés sont les processus max-stables à trajectoires continues. Nous commençons par déterminer la convergence des maximums de processus stochastiques indépendants, en utilisant la convergence de mesures empiriques vers des processus ponctuels de Poisson. Ensuite, nous déterminons les lois conditionnelles des processus max infiniment divisibles (max-i.d). La représentation des processus max-i.d par des processus ponctuels de Poisson permet l'introduction de notions telles que les fonctions extrémales et le hitting scénario qui permettent d'aboutir au résultat. Les processus max-stables étant des processus max-i.d, nous proposons un algorithme de simulation conditionnelle pour les champs max-stables puis nous l'utilisons pour des applications avec des données de précipitations autour de Zurich et de températures en Suisse. Nous trouvons aussi, une majoration du coefficient de β-mélange entre les restrictions d'un processus max-i.d sur deux sous-ensembles fermés et disjoints d'un espace métrique localement compact. Cette majoration permet d'obtenir de nouveaux critères pour le théorème de la limite central des processus stationnaires mélangeant. Enfin, nous terminons en démontrant qu'un processus stationnaire max-stable vérifiant la propriété de Markov est, quitte à renverser le temps, un processus max-autorégressif d’ordre 1.

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude des solutions stationnaires, en dimension 1 d'espace, d'un modèle de champs de phase cristallin introduit par Elder en 2002. Ainsi, nous prouvons, par la méthode de réduction de Lyapunov-Schmidt et la technique des multiparamètres, l'existence de courbes de solutions bifurquantes stationnaires lorsque le noyau de l'opérateur linéarisé, au voisinage de la solution triviale est de dimension 2. Une parenthèse est ouverte pour la comparaison de l'énergie de la solution bifurquante par rapport à celle la solution triviale. Aussi, grâce au principe de la stabilité réduite, nous fournissons des ensembles précis de valeurs des paramètres de bifurcation pour lesquelles les solutions obtenues sont stables ou instables. Ces résultats théoriques sont corroborés par plusieurs tests numériques. Par ailleurs, dans le cas classique du noyau unidimensionel, nous établissons des diagrammes de phases permettant de comprendre les différentes orientations de courbes de solutions non triviales au voisinage de chaque point de bifurcation.