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Berdan Nada El

Régularité de problèmes à données dans les espaces pondérés par la distance au bord via l'inégalité uniforme de Hopf et le principe de dualité

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Index

École doctorale :

  • S2IM - Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques

UFR ou institut :

  • UFR des sciences fondamentales et appliquées (SFA)

Secteur de recherche :

  • Mathématiques et leurs interactions

Section CNU :

  • Mathématiques appliquées et applications

Résumé

  • Français
  • English
 

Français

Régularité de problèmes à données dans les espaces pondérés par la distance au bord via l'inégalité uniforme de Hopf et le principe de dualité

Cette thèse, comporte deux parties distinctes. Dans la première partie, on étudie l'existence et l'inexistence d'une inégalité qu'on a appelée l'inégalité de Hopf Uniforme (IHU), pour une équation linéaire de la forme Lv = f à coefficients bornés mesurables et sous les conditions de Dirichlet homogènes. L'IHU est une variante du principe de maximum, on l'a appliquée dans la preuve de la régularité W1;p 0 pour un problème semi-linéaire singulier : Lu = F(u) où les coefficients de L sont dans l'espace vmor (fonctions à oscillation moyenne évanescente) et F(u) est singulier en u = 0 F(0) = +∞. De plus, si les coefficients sont lipschitziens, on prouve que la régularité optimale du gradient de la solution u est bmor (fonctions à oscillation moyenne bornée i.e Grad u dans bmor). Dans la seconde partie, on s'intéresse à la régularité du système d'élasticité (équations stationnaires des ondes élastiques) avec une fonction source singulière au sens qu'elle n’est qu'intégrable par rapport à la fonction distance au bord du domaine. Via la dualité, nous montrons, selon ~f , que le problème admet une solution dite très faible dont le gradient n'est pas nécessairement intégrable sur tout le domaine mais uniquement localement. Nous déterminons aussi les fonctions vectorielles ~f pour lesquelles, ~u a son gradient intégrable sur tout l'espace de travail.

Mots-clés libres : Inégalité de Hopf uniforme, espaces de Campanato et BMO, opérateur elliptique à coefficients discontinues, problèmes singuliers, opérateur d'élasticité linéaire, espaces de Lebesgue à poids.

    Rameau (langage normalisé) :
  • Élasticité linéaire
  • Principes du maximum (mathématiques)
  • Opérateurs elliptiques
  • Dualité, Principe de (mathématiques)
  • Sobolev, Espaces de

English

Regularity of problems with data in distance-weighted spaces on the boundary via uniform hopf inequality and the duality principle

We discuss the existence and non existence of the so called Hopf uniform Inequality (variant of a maximum principle) for the linear equation Lv = f with measurable coefficients and under the homogeneous Dirichlet Boundary condition. Then we apply such inequality to prove the W1;p 0 -regularity of a semi linear problem Lu = F(u), singular at u = 0, with the coefficients of the main operator of L in the space of vanishing mean oscillation. Moreover, when those coefficients are Lipschitz, we show that the gradient of the solution is at most in the space of bounded mean oscillation : bmor. In the last part of this thesis, we are concerned with the linear easticity system (Stationnary equation of the waves elasticity). But, here the second terms varies with respect to the distance function until the boundary.Using the duality method, we study the regularity of the solution of the elasticity system for the data belonging to various weighted spaces.

Keywords : Uniform Hopf inequality, BMO and Campanato spaces, elliptic operator with discontinuous coefficients, singular problems, elasticity operator, weighted Lebesgue spaces.

Notice

Diplôme :
Doctorat d'Université
Établissement de soutenance :
Université de Poitiers
UFR, institut ou école :
UFR des sciences fondamentales et appliquées (SFA)
Laboratoire :
Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers)
Domaine de recherche :
Mathématiques
Directeur(s) de thèse :
Jean-Michel Rakotoson
Date de soutenance :
05 décembre 2016
Président du jury :
François Jauberteau
Rapporteurs :
Françoise Demengel, Frédéric Abergel
Membres du jury :
Jean-Michel Rakotoson, Jesus Ildefonso Diaz, Abdallah El Hamidi, Julien Michel, Madalina Petcu

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