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Etude d'un modèle d'équations couplées Cahn-Hilliard/Allen-Cahn en séparation de phase

Cette thèse est une étude théorique d’un système d’équations de Cahn-Hilliard/Allen-Cahn couplées qui représente un mélange binaire en séparation de phase. Le but principal de l’étude est le comportement asymptotique des solutions en termes d’attracteurs exponentiels/globaux. Pour cette raison, l’existence et l’unicité de la solution sont étudiées tout d’abord. Une des principales applications de ce modèle d’équations est la cristallographie. Dans la première partie de la thèse, on examine le modèle proposé avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial : on réussit à trouver un attracteur exponentiel et par conséquence un attracteur global de dimension finie. Une non linéarité singulière de type logarithmique est ensuite prise dans la deuxième partie, cette fonction étant approchée par une suite de fonctions régulières et l’existence d’un attracteur global est démontrée sous des conditions au bord de type Dirichlet. Enfin, dans la dernière partie, le système est couplé avec une équation pour la température: suivant la loi de Fourrier premièrement, puis la loi de type III de la thermo-élasticité. Dans les deux cas, la dynamique de l’équation est étudiée et un attracteur exponentiel est trouvé malgré la difficulté créée par l’équation hyperbolique dans le deuxième cas.

Mots-clés libres : Equation de Cahn-Hilliard, équation d’Allen-Cahn, attracteur exponentiel, attracteur global, dimension fractale, potentiel logarithmique, loi de Fourrier, type III, thermo-élasticité.

Rameau (langage normalisé) :
• Équations de Cahn-Hilliard
  
• Équations d’Allen-Cahn
  
• Équations aux dérivées partielles
  
• Attracteurs (mathématiques)