UPThèses

Un automorphisme non-symplectique d'ordre fini n sur une surface X de type K3 est un automorphisme σ ∈ Aut(X) qui satisfait σ*(ω) = λω où λ est une racine primitive n-ième de l'unité et ω est le générateur de H2,0(X). Dans cette thèse on s’intéresse aux automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 et 16 sur les surfaces K3. Dans un premier temps, nous classifions les automorphismes non-symplectiques σ d'ordre 8 quand le lieu fixe de sa quatrième puissance σ⁴ contient une courbe de genre positif, on montre plus précisément que le genre de la courbe fixée par σ est au plus un. Ensuite nous étudions le cas où le lieu fixe de σ contient au moins une courbe et toutes les courbes fixées par sa quatrième puissance σ⁴ sont rationnelles. Enfin nous étudions le cas où σ et son carré σ² agissent trivialement sur le groupe de Néron-Severi. Nous classifions toutes les possibilités pour le lieu fixe de σ et de son carré σ² dans ces trois cas. Nous obtenons la classification complète pour les automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 sur les surfaces K3. Dans la deuxième partie de la thèse, nous classifions les surfaces K3 avec automorphisme non-symplectique d'ordre 16 en toute généralité. Nous montrons que le lieu fixe contient seulement courbes rationnelles et points isolés et nous classifions complètement les sept configurations possibles. Si le groupe de Néron-Severi a rang 6, alors il y a deux possibilités et si son rang est 14, il y a cinq possibilités. En particulier si l'action de l'automorphisme est trivial sur le groupe de Néron-Severi, alors nous montrons que son rang est six. Enfin, nous construisons des exemples qui correspondent à plusieurs cas dans la classification des automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 et nous donnons des exemples pour chaque cas dans la classification des automorphismes non-symplectiques d'ordre 16.

Mon travail de thèse porte sur les doubles EPW sextiques, une famille de variétés hyperkähleriennes qui, dans le cas général, sont équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de deux points sur une surface K3. Notamment j'ai utilisé le lien que ces variétés ont avec les variétés de Gushel-Mukai, qui sont des variétés de Fano dans une Grassmannienne si leur dimension est plus grande que deux, des surface K3 si la dimension est deux. Le premier chapitre contient quelques rappels de théorie des équations de Pell et des réseaux, qui sont fondamentals pour l’étude des variétés hyperkähleriennes. Ensuite je rappelle la construction qui associe un revêtement double à un faisceau sur une variété normale. Dans le deuxième chapitre j’aborde les variétés hyperkähleriennes et je décris leurs premières propriétés ; j’introduis aussi le premier cas de variété hyperkählerienne qui a été étudiée, les surfaces K3. Cette famille de surfaces correspond aux variétés hyperkähleriennes en dimension deux. Je présente ensuite brièvement certains des derniers résultats dans ce domaine, notamment je définis différents espaces de modules de variétés hyperkähleriennes et je décris l’action d’un automorphisme sur le deuxième groupe de cohomologie d’une variété hyperkähleriennes. Les outils introduits dans le chapitre précédent ne fournissent pas de description géométrique de l'action de l'automorphisme sur la variété, dans le cas où la variété est un schéma de Hilbert de points sur une surface K3. Dans le troisième chapitre, j’introduis donc une description géométrique à une certaine déformation près. Cette déformation prend en compte la structure du schéma de la variété de Hilbert. Pour ce faire, j'introduis un isomorphisme entre une composante connexe de l'espace de modules des variétés de type K3[n] avec une polarization, et l'espace de modules des variétés de même type avec une involution dont le rang de l'invariant est un. Il s’agit d’une généralisation d’un résultat obtenu par Boissière, An. Cattaneo, Markushevich et Sarti en dimension deux. Les deux premières parties de ce chapitre sont un travail en collaboration avec Alberto Cattaneo. Dans le quatrième chapitre, je définis les EPW sextiques, en présentant l'argument de O'Grady, qui montre qu'un double revêtement d'un EPW sextique dans le cas général est une variété de type K3[2]. Ensuite, je présente les variétés Gushel-Mukai, en mettant l'accent sur leur lien avec les EPW sextiques ; cette approche a été introduite par O'Grady, poursuivie par Iliev et Manivel et systématisée par Kuznetsov et Debarre. Dans le cinquième chapitre, j’utilise les outils introduits dans le quatrième chapitre dans le cas où on peut associer une surface K3 à une EPW sextique X. Dans ce cas je donne des conditions explicites sur le groupe de Picard de la surface pour que X soit une variété hyperkählerienne. Cela permet d'utiliser le théorème de Torelli pour une surface K3 pour démontrer l'existence de quelques automorphismes sur X. Je donne des bornes sur la structure d'un sous-groupe d'automorphismes d'une EPW sextique sous conditions d'existence d'un point fixe pour l'action du groupe. Toujours dans le cas d'existence d'une surface K3 associée à une EPW sextique X, j’améliore la borne obtenue précédemment sur les automorphismes de X, en donnant un lien explicite avec le nombre de coniques sur la surface K3. Je montre que la symplecticité d'un automorphisme sur X dépend de la symplecticité d'un automorphisme correspondant sur la surface K3. Le sixième chapitre est un travail en collaboration avec Alberto Cattaneo. J'étudie le groupe d'automorphismes birationels sur le schéma de Hilbert des points sur une surface projective K3, dans le cas générique. Cela généralise le résultat obtenu en dimension deux par Debarre et Macrì. Ensuite j’étudie les cas où il existe un modèle birationel où ces automorphismes sont réguliers. Je décris de façon géométrique quelques involutions dont on avait prouvé l'existence auparavant.

Nous allons étudier les automorphismes des variétés symplectiques holomorphes irréductibles de type K3^[n], c'est-à-dire des variétés équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de n points sur une surface K3, pour n > 1. Dans la première partie de la thèse, nous classifions les automorphismes du schéma de Hilbert de n points sur une surface K3 projective générique, dont le réseau de Picard est engendré par un fibré ample. Nous montrons que le groupe des automorphismes est soit trivial soit engendré par une involution non-symplectique et nous déterminons des conditions numériques et géométriques pour l’existence de l’involution. Dans la deuxième partie, nous étudions les automorphismes non-symplectiques d’ordre premier des variétés de type K3^[n]. Nous déterminons les propriétés du réseau invariant de l'automorphisme et de son complément orthogonal dans le deuxième réseau de cohomologie de la variété et nous classifions leurs classes d’isométrie. Dans le cas des involutions, e des automorphismes d’ordre premier impair pour n = 3, 4, nous montrons que toutes les actions en cohomologie dans notre classification sont réalisées par un automorphism non-symplectique sur une variété de type K3^[n]. Nous construisons explicitement l’immense majorité de ces automorphismes et, en particulier, nous présentons la construction d’un nouvel automorphisme d’ordre trois sur une famille de dimension dix de variétés de Lehn-Lehn-Sorger-van Straten de type K3^[4]. Pour n < 6, nous étudions aussi les espaces de modules de dimension maximal des variétés de type K3^[n] munies d’une involution non-symplectique.

Une surface K3 est une surface X complexe compacte projective lisse qui a fibré canonique trivial et h0;1(X) = 0. Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes pour ces surfaces. D'abord on considère des surfaces K3 obtenues comme recouvrement double de P2 ramifié le long d'une sextique. On classifie les fibrations elliptiques sur ces surfaces et leur groupe de Mordell-Weil, c'est-à-dire le groupe des sections. Vu que une section de 2-torsion définit une involution de la surface (dite involution de van Geemen-Sarti), alors en classifiant les fibrations et les section de 2-torsion on obtient une classification complète des involutions de van Geemen-Sarti sur ce type de surfaces K3. On montre aussi comment calculer l'équation de la fibration et on étudie le quotient par l'involution de van Geemen-Sarti. Ensuite on montre la construction de Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR): il s'agit d'une construction miroir qui part d'un polynôme dans un espace projectif à poids et d'un groupe d'automorphismes (avec certaines propriétés) et qui donne, en toute dimension, des paires de variétés Calabi-Yau. Ces deux variétés sont l'une miroir de l'autre en sense classique. On classifie toutes les paires de surfaces K3 obtenues avec cette construction qui aient en plus un automorphisme non{symplectique d'ordre premier p > 3. Pour les surfaces K3 une autre notion de symétrie miroir a été introduite par Dolgachev et Nikulin : la symétrie pour K3 polarisées (LPK3). On montre dans la thèse comment polariser les surfaces obtenues avec la construction BHCR et on preuve que deux surfaces miroir au sense BHCR, dûment polarisées, appartiennent à deux familles miroir LPK3.

Nous allons étudier les propriétés des courbes algébriques sur des surfaces K3 spéciales, du point de vue de la théorie de Brill-Noether. La démonstration de Lazarsfeld du théorème de Gieseker-Petri a mis en lumière l'importance de la théorie de Brill-Noether des courbes admettant un plongement dans une surface K3. Nous allons donner une démonstration détaillée de ce résultat classique, inspirée par les idées de Pareschi. En suite, nous allons décrire le théorème de Green et Lazarsfeld, fondamental pour tout notre travail, qui établit le comportement de l'indice de Clifford des courbes sur les surfaces K3. Watanabe a montré que l'indice de Clifford de courbes sur certaines surfaces K3, admettant un recouvrement double des surfaces de del Pezzo, est calculé en utilisant les involutions non-symplectiques. Nous étudions une situation similaire pour des surfaces K3 avec un réseau de Picard isomorphe à U(m), avec m>0 un entier quelconque. Nous montrons que la gonalité et l'indice de Clifford de toute courbe lisse sur ces surfaces, avec une seule exception déterminée explicitement, sont obtenus par restriction des fibrations elliptiques de la surface. Ce travail est basé sur l'article suivant : M. Ramponi, Gonality and Clifford index of curves on elliptic K3 surfaces with Picard number two, Archiv der Mathematik, 106(4), p. 355–362, 2016. Knutsen et Lopez ont étudié en détail la théorie de Brill-Noether des courbes sur les surfaces d'Enriques. En appliquant leurs résultats, nous allons pouvoir calculer la gonalité et l'indice de Clifford de toute courbe lisse sur les surfaces K3 qui sont des recouvrements universels d'une surface d'Enriques. Ce travail est basé sur l'article suivant : M. Ramponi, Special divisors on curves on K3 surfaces carrying an Enriques involution, Manuscripta Mathematica, 153(1), p. 315–322, 2017.