UPThèses

Une carte topologique 3D est un modèle servant à représenter la partition en régions d'une image 3D pour le traitement d'images. Dans ce travail, nous développons des outils permettant de modifier la partition représentée par une carte topologique, puis nous utilisons ces outils afin de proposer des algorithmes de segmentation intégrant des critères topologiques. Dans une première partie, nous proposons trois opérations. La fusion de régions est définie avec une approche locale adaptée à une utilisation interactive et une approche globale pour une utilisation automatisée comme lors d'une segmentation. La division de régions est proposée avec une méthode d'éclatement en voxels et la division à l'aide d'un guide. Enfin, la déformation de la partition est basée sur la définition de points ML-Simples : des voxels pouvant changer de région sans modifier la topologie de la partition. À l'aide de ces opérations, nous mettons en oeuvre dans une seconde partie des algorithmes de segmentation d'images utilisant les cartes topologiques. Notre première approche adapte au modèle des cartes topologiques un algorithme existant qui utilise un critère basé sur la notion de contraste. Nous proposons ensuite des méthodes de calcul d'invariants topologiques sur les régions : les nombres de Betti. Grâce à eux, nous développons un critère topologique de segmentation permettant de contrôler le nombre de tunnels et de cavités des régions. Enfin, nous illustrons les possibilités de tous nos outils en mettant en place une chaîne de traitement pour la segmentation de tumeurs cérébrales dans des images médicales.

Une image numérique peut être définie comme un ensemble de n-xels sur une grille constituée de n-cubes. La segmentation consiste à calculer une partition d'une image en régions. Les n-xels ayant des caractéristiques similaires (couleur, intensité, etc.) sont regroupés. Schématiquement, à chaque n-xel est attribuée une étiquette, et chaque région de l'image est constituée de n-xels de même étiquette. Les méthodes "de type" Marching cubes et Kenmochi et al. construisent des complexes représentant la topologie de la région d'intérêt d'une image numérique binaire de dimension 3. Dans la première méthode, l'algorithme construit un complexe simplicial, dont 0-cellules sont des points des arêtes de la grille duale. Dans la deuxième méthode, les auteurs construisent un complexe cellulaire sur une grille duale, c.a.d les 0-cellules du complexe sont des sommets de la grille duale. Afin de construire le complexe, Kenmochi et al. calculent (à rotations près) les différentes configurations de sommets blancs et noirs d'un cube, puis, ils construisent les enveloppes convexes des points noirs de ces configurations. Ces enveloppes convexes définissent les cellules du complexe, à rotations près. Le travail développé dans cette thèse étend la méthode de Kenmochi et al. en dimension 4. L'objectif est de construire un complexe cellulaire à partir d'une image numérique binaire définie sur une grille duale. Nous calculons d'abord les différentes configurations de sommets blancs et noirs d'un 4-cube (à isométries près), puis, nous construisons des enveloppes convexes définies par ces configurations. Ces enveloppes convexes sont construites par déformation du 4-cube d'origine, et nous distinguon

La modélisation géométrique est utilisée dans de nombreux domaines pour la construction d’objets 3D, l’animation ou les simulations. Chaque domaine est soumis à ses propres contraintes et nécessiterait un outil dédié. En pratique, un même outil est utilisé pour plusieurs domaines, en factorisant les caractéristiques communes. Ces modeleurs fournissent un ensemble d'opérations types, que l'utilisateur compose pour construire ses objets. Pour des opérations plus spécifiques, les outils actuels offrent des API. La plate-forme Jerboa propose un outil de génération d'opérations géométriques personnalisées. Elles sont définies graphiquement par des règles de transformations de graphes. Des vérifications automatiques de préservation de la cohérence des objets sont faites lors de l’édition qui peuvent être enrichies par des propriétés métiers. Notre contribution a consisté à étendre le langage par des scripts, pour composer les règles et réaliser des opérations complexes. Nous avons étendu les vérifications automatiques, en particulier pour assurer la cohérence géométrique. Enfin, nous avons modifié le processus d'application des opérations pour augmenter les possibilités de contrôle. Pour valider cette approche, nous avons développé un modeleur dédié à la géologie, pour la représentation du sous-sol, en collaboration avec l'entreprise Géosiris. Nous avons défini un flux d'activité avec Géosiris en suivant des contraintes spécifiques à la géologie. Grâce à la rapidité de développement des opérations dans Jerboa, nous avons pu prototyper et tester rapidement plusieurs algorithmes de reconstruction du sous-sol, pour les appliquer sur des données réelles fournies par l'entreprise.

Réaliser des variations d'un même modèle est un besoin en expansion dans de nombreux domaines de modélisation (architecture, archéologie, CAO, etc.). Mais la production manuelle de ces variations est fastidieuse, il faut donc faire appel à des techniques permettant de rejouer automatiquement tout ou partie du processus de construction du modèle, après spécification des modifications. La majorité des approches dédiées à la réalisation du rejeu sont basées sur un système de modélisation paramétrique, composée d’un modèle géométrique et d’une spécification paramétrique permettant d’enregistrer la succession d’opérations l’ayant créé ainsi que leurs paramètres. On peut ensuite faire varier ces paramètres ou éditer cette liste d’opérations afin de modifier le modèle. On utilise pour cela un système de nommage persistant, introduit dans les années 90, et permettant d’identifier et d’apparier les entités d’une spécification initiale et celles d'une spécification rejouée. L’objectif de cette thèse est de proposer un système de nommage persistant général, homogène et permettant de gérer l’édition de spécification paramétriques (déplacer, ajouter et supprimer des opérations). Nous nous basons sur la bibliothèque Jerboa, qui repose sur des règles de transformation de graphes, tant pour utiliser ces règles dans la réalisation de la méthode de nommage que pour lier les notions de spécification paramétrique à ces règles de transformations de graphes. Nous décrivons ensuite comment exploiter notre méthode de nommage pour rejouer et éditer des spécifications paramétriques d’opérations, puis nous la comparons avec les approches de la littérature.

En modélisation géométrique à base topologique, les objets manipulés sont subdivisés en cellules de différentes dimensions (sommets, arêtes, faces, volumes. . .). Dans ce cadre, le calcul d’invariants topologiques (orientabilité, contractilité, caractéristique d’Euler. . .) permet de caractériser la structure de ces objets. En particulier, l’homologie est un invariant topologique usuellement étudié, permettant intuitivement de caractériser les trous d’un objet en toute dimension (composantes connexes en dimension 0, tunnels en dimension 1, cavités en dimension 2 etc. . .). Classiquement, le calcul de l’homologie d’un objet nécessite d’étudier les relations d’incidence de toutes ses cellules. Dans cette thèse, on s’intéresse au calcul incrémental des variations de l’homologie d’un objet évoluant dans un processus de construction. Pour cela, nous utilisons des résultats de l’homologie effective [1], et plus particulièrement le théorème des suites exactes courtes effectives (théorème SECE). Le passage d’une étape de construction à l’autre se fait par application d’une opération locale consistant à fusionner des cellules (identification), ou, à l’inverse, à les scinder (désidentification). Le théorème SECE est utilisé pour maintenir une équivalence homologique au fil des étapes. Cette dernière associe l’objet à un plus petit objet de "même" homologie. À chaque étape, l’homologie peut être calculée à partir du petit objet, ce qui est plus efficace que de la calculer à partir de l’objet lui-même. Dans ce contexte, nous proposons une analyse du coût des calculs mis en jeu par le théorème SECE. Il en résulte que, pour calculer les rangs des groupes d’homologie à chaque étape, la complexité en temps du maintien de l’équivalence homologique dépend seulement du nombre de cellules impactées par l’opération (et de leur étoile), et la complexité en espace croît en fonction du nombre de cellules impactées par l’opération. Pour garantir ces complexités en pratique, nous distinguons plusieurs prérequis qu’une implémentation doit respecter. Nous proposons une structure de données vérifiant ces prérequis. Elle inclut des informations pour suivre l’évolution des cellules d’une structure topologique au fil du processus de construction, c’est-à-dire le fait que des cellules puissent mourir ou être créées à chaque étape. En fonction de ces évolutions, elle est utilisée pour mettre à jour les éléments maintenus au fil du processus et utilisés dans le théorème SECE, comme par exemple des matrices de bord de complexes de chaînes. Ensuite, nous nous intéressons aux cas où l’objet est trop volumineux pour être manipulé par une seule unité de calcul. Nous proposons un algorithme permettant de calculer l’homologie d’un objet distribué évoluant dans un processus de construction composé uniquement d’identifications. L’objet est manipulé implicitement au travers de sa distribution et d’une identification permettant de le reconstruire à partir de sa distribution. À chaque étape, ces données sont mises à jour afin de permettre le calcul de l’homologie de l’étape suivante sans avoir à reconstruire l’objet. Enfin, nous mettons en évidence un cadre commun à l’homologie effective et à l’homologie persistante. En particulier, nous nous intéressons aux travaux concernant les tours, des séquences de complexes simpliciaux reliés entre eux par des applications simpliciales [2]. [1] Julio Rubio and Francis Sergeraert. Constructive homological algebra and applications. Technical report, Universidad de la Rioja, Université Grenoble Alpes, 2006 [2] Tamal K Dey, Fengtao Fan, and Yusu Wang. Computing topological persistence for simplicial maps. In Proceedings of the thirtieth annual symposium on Computational geometry, pages 345–354, 2014