UPThèses

La thématique générale de cette thèse était la caractérisation paramétrique et stochastique de textures couleur. En traitement d'image, le terme « texture » renvoie de façon générale à toutes les propriétés structurelles d'une image, sa régularité, ses motifs, sa granulosité etc. L'objectif de l'analyse de texture est de caractériser numériquement ces propriétés, notamment à l'aide de modélisations déterministes ou stochastiques. Actuellement, on a souvent recours aux statistiques du second ordre pour caractériser les textures, mais celles-ci se révèlent souvent insuffisantes pour décrire leur structure locale. L'objectif de la thèse était donc une caractérisation plus précise des textures, en s’appuyant sur des techniques issues du traitement du signal, des probabilités et de l’identification des systèmes. Une attention particulière a été portée au traitement de la couleur. Un premier axe de recherche a consisté en l’utilisation d’algorithmes d’identification de modèle afin de reconstruire les parties manquantes de textures couleur structurellement homogènes. Les paramètres du modèle étaient extraits des zones connues de la texture, puis un morceau de texture d’aspect similaire mais non directement copié des données disponibles était généré à partir de cette estimation afin de combler la zone masquée. Un des atouts essentiels du modèle utilisé était son traitement des trois canaux couleur de l’image comme un vecteur dynamique et non trois signaux scalaires indépendants. En effet, nos résultats ont montré que cette approche vectorielle avait un impact direct sur la qualité de la reconstruction de la couleur. Si cette approche a fourni des résultats pertinents dans la complétion de texture, elle ne parvenait qu’à capter la dynamique générale de l’image et échouait à en extraire sa structure locale. C’est ce qui a motivé l’utilisation de l’outil monogène, dont les mesures d’énergie, structure et orientation locales avaient déjà fait leurs preuves dans des domaines tels l’interférométrie, la démodulation d’hologramme ou l’imagerie médicale. Avant d’être appliqué à la couleur, le signal monogène a d’abord été étudié dans le cas scalaire, en particulier l’estimation locale de phase et d’orientation qu’il fournit. Nos travaux ont ainsi établi des résultats théoriques garantissant la fiabilité de l’extraction de ces grandeurs, aussi bien dans le cas de textures déterministes que de champs aléatoires. Le modèle utilisé pour générer des champs aléatoires était le bruit de Gabor, choisi pour le contrôle direct du contenu fréquentiel de la texture qu’il fournit. Dans les deux cas, déterministe et stochastique, l’application à des textures réelles confirmait les attentes de la théorie, à savoir la qualité de la caractérisation monogène de la structure locale dans le cas de textures contenant des motifs d’oscillation clairs. Après avoir illustré la pertinence de l’outil monogène dans la caractérisation de la structure locale de textures grises, nous avons généralisé ces résultats à des textures couleur. Pour cela, nous avons utilisé l’approche elliptique des signaux oscillants multivariés, qui a pour avantage de fournir un lien direct entre ses paramètres et le contenu couleur de la texture générée. Un premier objectif était de définir proprement un modèle de synthèse de texture couleur aléatoire, ce qui a été possible en fusionnant l’approche elliptique et les bruits de Gabor. Il en résultait un contrôle du contenu fréquentiel de l’image générée, mais aussi des couleurs présentes. L’outil monogène a ensuite été appliqué dans un but à la fois d’analyse et d’évaluation de la synthèse. Nous avons alors montré que le signal monogène fournissait un moyen fiable de caractériser la richesse du contenu couleur d’une texture stochastique. Par ailleurs, dans le cadre de la synthèse de texture, la mesure de phase local a permis de définir un critère de qualité de la texture couleur générée, notamment grâce à sa capacité à détecter les artéfacts.

Ce mémoire traite du problème de la robustesse des systèmes homogènes échantillonnés soumis à une perturbation externe. Tout d'abord, une présentation du concept d'homogénéité sous ses différentes déclinaisons (homogénéité classique, pondérée puis géométrique) est proposée. Puis quelques rappels sur la stabilité des systèmes contrôlés et les résultats principaux concernant les systèmes homogènes s'ensuivent. Un récapitulatif des principaux modes d'échantillonnage de la commande et des problèmes rencontrés au niveau de la stabilité est exposé. Des lois de commande homogènes de degré négatif sont utilisées afin de pallier ces difficultés. Ensuite, la problématique de la robustesse des systèmes homogènes échantillonnés de degré négatif soumis à une perturbation externe est abordée. Le principal résultat montre la convergence pratique de l'état des systèmes contrôlés dans une boule homogène dont le diamètre est fonction du pas d'échantillonnage, du degré d'homogénéité et de l'intensité de la perturbation externe. Après cela, il est appliqué aux systèmes multi-agents dans le cadre du suivi par consensus à l'aide de lois de commande homogènes de degré négatif où l'accélération du leader est assimilable à une perturbation externe au système. Ce résultat est enfin illustré au moyen de simulations d'un système multi-agent constitué par un leader et 5 agents.

L'intégration des sources d'énergies renouvelables dans le mix énergétique et les réseaux électriques constitue un défi du fait de leur intermittence et de leur coût d'installation. Il est donc important de prendre en compte la nature intermittente des sources d'énergies renouvelables lors de l'analyse de leur interaction avec les sources d'énergies conventionnelles et le réseau de distribution. Les objectifs principaux de cette thèse sont le contrôle d'un micro-réseau à courant continu à énergies renouvelables intégré au réseau et l'optimisation de la gestion des flux d'énergies dans un tel système. En premier lieu, une loi de commande IDA-PBC basée sur la passivité est développée pour contrôler les convertisseurs d'interface DC/DC et DC/AC au sein d'un micro-réseau à courant continu à énergies renouvelables intégré au réseau et disposant d'un système de stockage d'énergie hybride batterie/supercondensateur. Cette commande permet de maintenir un courant stable sans perturbations dans la batterie et le réseau et de stabiliser la tension de bus continu. En second lieu, une méthode de dimensionnement est élaborée pour un micro-réseau autonome à courant continu alimenté par une source photovoltaïque et disposant d'un système de stockage d'énergie hybride batteries/pompage hydraulique. Cette étude s'intéresse également à l'optimisation de la gestion d'énergie au sein de ce système. En dernier lieu, une méthodologie d'optimisation multi-objectifs par algorithme génétique est proposée pour optimiser le dimensionnement de ce micro-réseau. Les critères d'évaluation de la configuration optimale du micro-réseau (capacité photovoltaïque, capacité des batteries et capacité du réservoir supérieur d'eau) sont la probabilité de perte de charge LPSP et le coût actualisé de l'énergie LCE.

Cette thèse s’inscrit dans un contexte de transmission de données (en particulier la transmission d’images) très haut débit sur des canaux radio mobiles. Les systèmes classiques de transmissions numériques font appel à des modulations uniformes qui ne permettent pas d’atteindre les limites théoriques. La technique de mise en forme ou shaping est une alternative qui permet d’approcher une distribution gaussienne des points de la constellation à l’entrée du canal réduisant l’écart résiduel par rapport à la limite théorique. Le gain apporté par la stratégie de mise en forme sera d’autant plus important si cette dernière est utilisée avec la technique BICM. Ainsi, le schéma BICM permet d’atteindre de meilleures performances pour des fortes efficacités spectrales avec une complexité raisonnable. Dans ce contexte, la première partie de cette thèse consiste à investiguer une technique de mise en forme (shaping code) afin qu’elle soit associée à un turbo code duo binaire et des modulations MAQ de différents ordres, formant ainsi un schéma shaping BICM robuste. Cette association a permis d’atteindre un gain très important en termes de TEB ainsi qu’une réduction de l’énergie moyenne de transmission que ce soit pour un canal Gaussien ou pour un canal de type Rayleigh. Ce schéma shaping BICM a été utilisé dans la deuxième partie de cette thèse pour la transmission d’images JPWL à travers un canal MIMO-OFDM sans fil réaliste. La stratégie utilisée dans cette partie consiste à utiliser une approche d’adaptation de lien qui s’appuie sur les techniques UEP, UPA, shaping BICM et prend en compte le contenu hiérarchique d’images JPWL. Elle permet de choisir, avant la transmission de l’image, le jeu de paramètres (rendement du codage source/canal, nombre de couches de qualité pouvant être transmise, ordres des modulations dans chaque sous-couche et le nombre d’itérations dans le turbo décodage) permettant d’atteindre la QdS souhaité. Ceci est fait en fonction du budget de puissance et les conditions du canal avec l’hypothèse d’avoir une connaissance sur l’état du canal à l’émission. Avec la technique shaping BICM, une faible puissance permet d’atteindre un faible TEB même pour de fortes efficacités spectrales. Ceci permet, dans la stratégie d’adaptation de lien, d’utiliser des modulations d’ordre élevé et par conséquent plus de bits pouvant être utilisés dans le codage de source. Ainsi, plus de couches de qualité peuvent être transmises avec le budget de puissance. Ceci améliore la qualité d’image, vu le nombre de bits important qui pourra être utilisé dans le codage de source et le nombre important de couches de qualité pouvant être transmises. La stratégie proposée dans cette partie a permis d’atteindre soit un gain très important en terme de PSNR ou bien un gain très important en terme de puissance de transmission pour une QdS comparable.

L'animation basée sur la physique peut générer des systèmes aux comportements complexes et réalistes. Malheureusement, contrôler de tels systèmes est une tâche ardue. Dans le cas de la simulation de fluide, le processus de contrôle est particulièrement complexe. Bien que de nombreuses méthodes et outils ont été mis au point pour simuler et faire le rendu de fluides, trop peu de méthodes offrent un contrôle efficace et intuitif sur une simulation de fluide. Étant donné que le coût associé au contrôle vient souvent s'additionner au coût de la simulation, appliquer un contrôle sur une simulation à plus haute résolution rallonge chaque itération du processus de création. Afin d'accélérer ce processus, l'édition peut se faire sur une simulation basse résolution moins coûteuse. Nous pouvons donc considérer que la création d'un fluide contrôlé peut se diviser en deux phases: une phase de contrôle durant laquelle un artiste modifie le comportement d'une simulation basse résolution, et une phase d'augmentation de détail durant laquelle une version haute résolution de cette simulation est générée. Cette thèse présente deux projets, chacun contribuant à l'état de l'art relié à chacune de ces deux phases. Dans un premier temps, on introduit un nouveau système de contrôle de liquide représenté par un modèle particulaire. À l'aide de ce système, un artiste peut sélectionner dans une base de données une parcelle de liquide animé précalculée. Cette parcelle peut ensuite être placée dans une simulation afin d'en modifier son comportement. À chaque pas de simulation, notre système utilise la liste de parcelles actives afin de reproduire localement la vision de l'artiste. Une interface graphique intuitive a été développée, inspirée par les logiciels de montage vidéo, et permettant à un utilisateur non expert de simplement éditer une simulation de liquide. Dans un second temps, une méthode d'augmentation de détail est décrite. Nous proposons d'ajouter une étape supplémentaire de suivi après l'étape de projection du champ de vitesse d'une simulation de fumée eulérienne classique. Durant cette étape, un champ de perturbations de vitesse non-divergent est calculé, résultant en une meilleure correspondance des densités à haute et à basse résolution. L'animation de fumée résultante reproduit fidèlement l'aspect grossier de la simulation d'entrée, tout en étant augmentée à l'aide de détails simulés.

Cette thèse aborde différentes approches thérapeutiques pour les gliomes, soit directement, soit au niveau du métabolisme en utilisant la théorie du contrôle optimal. En effet, nous considérons tout d'abord un système couplant une équation d'Allen-Cahn modélisant la croissance tumorale, avec une équation d'évolution pour la dynamique des nutriments. Le traitement des gliomes est considéré en termes de contrôle qui représente la concentration du médicament cytotoxique à un taux donné. Notre objectif dans cette partie est de choisir le contrôle et le temps de traitement de telle sorte que la croissance tumorale correspondante et sa distribution finale soient la meilleure approximation possible des valeurs désirées. Notre première étape est donc consacrée à l'étude du caractère bien posé de notre système d'état, ce qui nous permet de définir l'opérateur contrôle-état qui est continu. Ensuite, nous montrons l'existence d'un minimiseur de notre fonction de coût, où notre opérateur contrôle-état est différentiable au sens de Fréchet. Ensuite, notre fonctionnelle de coût est également différentiable au sens de Fréchet par rapport au temps et au contrôle. Enfin, pour simplifier la condition d'optimalité nécessaire du premier ordre, nous considérons un système adjoint utilisant le principe de Lagrange pour lequel ce système a une solution régulière. D'autre part, nous savons que la progression et la malignité des gliomes sont liées au métabolisme, en particulier au déchet de glycolyse et de lactate. Ainsi, nous soulignons d'abord le fait que plus le gliome produit de lactate, plus il transporte l'excès dans le capillaire pour soutenir la prolifération, les métastases et la malignité. Par conséquent, nous considérons l'équation d'état comme un problème parabolique modélisant la dynamique du lactate intracellulaire. Notre premier défi consiste à ajouter un contrôle biologiquement pertinent qui agit comme une concentration d'un certain médicament pour inhiber la production de lactate. Puisque la dose de médicament et le temps ne doivent pas dépasser ou descendre en dessous d'un certain seuil dans le traitement du cancer, nous essayons de choisir le meilleur contrôle au moment le plus opportun afin que la concentration de lactate intracellulaire correspondante soit aussi proche que possible de notre évolution souhaitée et de la distribution finale du lactate. Cependant, comme nous l'avons dit plus haut, la cellule retire l'excès de lactate en le transportant à travers la membrane plasmique de la cellule dans le capillaire pour maintenir sa prolifération. Ceci nous a inspiré à cibler le transport du lactate en utilisant un inhibiteur de MCTs qui agit comme un terme de contrôle dans un système couplé de type EDO qui modélise la dynamique du lactate dans les domaines intracellulaire et capillaire. Nous abordons la question de savoir combien de temps un patient doit être traité et quelle est la dose optimale de médicament pour atteindre la concentration de lactate capillaire souhaitée. Pour atteindre notre objectif, nous considérons un problème de minimisation avec une fonction de coût conventionnelle associée au système d'EDO susmentionné. Tout d'abord, nous montrons l'existence d'une solution régulière unique et non négative de notre système EDO, puis nous définissons l'opérateur contrôle-état et montrons qu'il est continu sur la topologie correspondante. Puis, nous montrons l'existence d'une solution à notre problème de minimisation sous des contraintes données. Nous étudions ensuite l'existence d'une dérivée unique de l'opérateur contrôle-état et sa différentiabilité de Fréchet. Nous montrons ensuite la différentiabilité de Fréchet de la fonctionnelle de coût par rapport au temps et au contrôle. De plus, nous définissons le système adjoint par le principe de Lagrange, nous simplifions la condition d'optimalité nécessaire au premier ordre, et enfin, nous mettons en évidence le choix du terme de contrôle par des simulations numériques.

Représentant plus d'un tiers de la consommation mondiale d'électricité, les bâtiments sont le secteur énergétique majeur pour promouvoir l’usage des énergies renouvelables. L'installation à la fois de sources d’énergie rénouvelable et d'un système de stockage d'énergie électrique dans les bâtiments peut favoriser la transition énergétique vers un système électrique à faible émission de carbone, tout en permettant aux consommateurs d'énergie finaux de bénéficier d'une énergie propre. Malgré tous ces avantages, cette topologie innovante et distribuée d’un Micro-réseau dédié au Bâtiment (MB)nécessite des changements importants dans le réseau actuel, qui dépend des politiques énergétiques et d’avancement technologiques. La conception d'un Système de Gestion de l'Energie (EMS) capable de gérer efficacement les composants électriques du micro-réseau sans menacer la stabilité du réseau principal est un obstacle au développement des MB. Pour atténuer les effets néfastes introduits par des acteurs d’énergie imprévisibles, le concept d'autoconsommation est de plus en plus adopté. Néanmoins, une analyse technico-économique plus approfondie est nécessaire pour piloter d’une manière optimaledes systèmes de stockage d'énergie afin d’atteindre des indices d'autoconsommation plus élevés. Face à ces enjeux, le but de ce doctorat est de proposer un EMS pour les micro-réseaux installés dans les bâtiments afin de maximiser leur taux d’autoconsommation à un coût d’exploitation minimum. Parmi les architectures de contrôle, la structure hiérarchique s'est avérée efficace pour gérer des objectifs contradictoires qui ne sont pas dans la même échelle de temps. Ainsi, une structure de contrôle Hiérarchique à Modèle Prédictif (HMPC) a été adoptée pour remédier aux incertitudes liées aux déséquilibres de puissance ainsi qu’établir un compromis entre la réduction du coût de fonctionnement et le respect du code de l’énergie français. Considérant que les bâtiments ne sont pas homogènes et nécessitent des solutions adaptées à leur besoin, le contrôleur proposé a été couplé à deux modules fonctionnant à base d’analyse de données. Le premier algorithme consiste à gérer les inexactitudes dans les modèles internes de l’HMPC. Sans avoir besoin de régler aucun paramètre, cet algorithme améliore la précision du modèle de batteries jusqu'à trois fois et augmente jusqu'à dix fois la précision du modèle de stockage d'hydrogène, réduisant ainsi la dépendance de l’EMS aux étapes de modélisation. Le deuxième algorithme détermine de manière autonome les paramètres de l’HMPC et facilite le compromis entre les aspects économiques et énergétiques. S'appuyant uniquement sur l'analyse des données de déséquilibre de puissance et des mesures, le contrôleur hiérarchique spécifie quel dispositif de stockage d'énergie doit fonctionner quotidiennement en fonction de l'estimation du taux d'autoconsommation et du coût de fonctionnement du micro-réseau. Ces estimations diminuent les dépenses annuelles du micro-réseau en évitant la pénalisation en ce qui concerne les exigences d'autoconsommation et en réduisant la dégradation et l'entretien des systèmes de stockage d'énergie. L’EMS proposé s'est également révélé capable de charger de préférence les batteries des véhicules électriques en période de surplus d’énergie et les décharger pendant les périodes de déficit pour réduire les échanges d’énergie avec le réseau principal. Les résultats ont aussi montré que la contribution des batteries de véhicules électriques dépend de la taille du parc de véhicules, de leur temps de connexion et du profil de déséquilibre de puissance. En conclusion, à travers les simulations utilisant le dimensionnement réel d'un bâtiment public et résidentiel, l’EMS hiérarchique s'est avéré efficace pour gérer de nombreux dispositifs de stockage d'énergie et contribuer à l’essor de micro-réseaux dédiés aux bâtiments à l’avenir.

L’efficacité énergétique est un enjeu important dans les nouvelles normes de transmission, et l’amplificateur de puissance (PA) joue un rôle majeur dans le bilan de puissance des émetteurs sans-fil. Pour améliorer son rendement, le PA doit être utilisé à proximité de sa zone de saturation. Cela entraîne des distorsions du signal transmis dans les domaines temporel et fréquentiel. De plus, avec l'évolution des systèmes de transmission sans-fil, différents standards et normes sont apparus. Afin de garantir la portabilité entre ces différents réseaux, des systèmes RF multistandards ont été développés pour supporter plusieurs normes à la fois. La mise en œuvre de modules reconfigurables, y compris des amplificateurs, est une solution pour garantir la transition d'un standard à un autre. Pour de telles applications, étant donné le comportement variable du PA par rapport aux différentes conditions de fonctionnement, la modélisation de son comportement ou de son dispositif de linéarisation devient plus complexe. Dans le cadre de nos travaux, nous avons mené une étude sur la modélisation et la linéarisation des PA reconfigurables, et plus précisément sur leur comportement non-linéaire, qui est variables selon la forme d’onde. La méthode la plus classique consiste à mettre en parallèle plusieurs modèles qui correspondent aux différentes conditions de fonctionnement, avec comme inconvénient majeur la complexité et la taille du modèle. Une autre méthode consiste en la décomposition du modèle en un mode commun, qui représente le comportement nominal du PA, et un mode différentiel variable en fonction de l'application visée. Dans ce contexte, nous présentons un nouveau modèle en blocs appelé FWMP (Feedback-Wiener Memory Polynomial model) qui permet l’application de cette approche. Nous présentons également la procédure d'estimation paramétrique associée à ce modèle. Le modèle proposé est validé, par des simulations et expérimentations, en utilisant différents PA et formes d'onde issues d’applications civiles et aéronautiques. Les résultats obtenus montrent que le modèle FWMP a de bonnes performances comparables à l'état de l'art en matière de modélisation et de linéarisation des amplificateurs de radiocommunications.

Les travaux de recherche de la thèse de Rami Troudi répondent à trois problématiques : -la première est de concevoir un onduleur triphasé multiniveau pour des applications à base d’énergies renouvelables connectées au réseau de distribution, ou pour la motorisation des véhicules électriques. Dans la première application, l’utilisation de bras multiniveau limite fortement les inductances de couplage avec le réseau tandis que dans la deuxième application, le couple délivré par le moteur est de meilleure qualité. -la deuxième consiste à concevoir une structure de convertisseur DC-DC permettant de n’avoir qu’une seule source continue pour alimenter cet onduleur multiniveau. -la troisième est la conception d’une architecture de commande temps réel à base de microcontrôleurs permettant d’avoir une grande capacité d’évolution et de calcul et une facilité d’industrialisation. Le manuscrit de la thèse est organisé en quatre chapitres. Le premier chapitre présente un état de l’art des structures d’onduleur multiniveau. Cette technologie est devenue aujourd’hui un thème de recherche important. Ce chapitre donne les avantages et les inconvénients de chaque topologie d’onduleur multiniveau conventionnel ainsi que les nouvelles topologies permettant une réduction du nombre de composants. Ce chapitre fait aussi un état de l’art des structures de hacheurs avec une ou plusieurs entrées-sorties (MISO, MIMO et SIMO). Ce chapitre présente aussi les avantages et les inconvénients de chaque famille de structure avec leur commande. La fin du chapitre présente les nouvelles topologies retenues pour l’onduleur multiniveau et le hacheur SIQO (une entrée-quatre sorties). Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la structure de l’onduleur multiniveau proposé, ainsi qu’à l’étude de son mode de fonctionnement, de sa commande rapprochée et de son utilisation dans une application en boucle fermée. Ce chapitre montre que cette structure a l’avantage de minimiser les pertes dans les composants de puissance en ayant, à chaque instant, peu de composants qui conduisent le courant de chaque bras, ce qui permet d’augmenter son rendement. En plus, ce chapitre montre la simplicité de la commande rapprochée de l’onduleur en utilisant un algorithme très simple. Des essais expérimentaux sont donnés à la fin du chapitre après le descriptif de la maquette d’essai. Le troisième chapitre traite en détail la structure du convertisseur DC-DC SIQO utilisé pour alimenter l’onduleur multiniveau, son mode de fonctionnement, sa modélisation et le développement d’une commande multi-entrée multi-sortie (MIMO). Cette structure est conçue à partir d’un couplage de la structure SEPIC avec la structure à accumulation magnétique et du dédoublement de chaque sortie par un système d’aiguillage qui permet ainsi d’obtenir quatre sorties à partir d’une seule entrée DC. Chaque structure (SEPIC et à accumulation) gère deux sorties avec le calcul de deux rapports cycliques. Pour cela, une synthèse d’asservissement basée sur une méthode H_∞ est présentée pour être robuste aux variations des courants et aux changements de consigne. Les résultats des essais expérimentaux sont donnés à la fin du chapitre après le descriptif de la maquette d’essai. Le chapitre quatre aborde le développement de l’architecture de commande à base de microcontrôleurs. Cette structure est appliquée au contrôle de l’onduleur triphasé. Ce chapitre décrit toutes les fonctions qui composent cette architecture au niveau matériel et logiciel. Le fait de répartir les besoins matériels et algorithmiques sur plusieurs microcontrôleurs permet de faciliter l’évolution des demandes de fonctions supplémentaires à savoir le diagnostic et la reconfiguration d’un bras, ainsi que l’ajout de la fonction de filtrage actif. Cette architecture repose sur une communication par bus SPI (Serial Peripheral Interface) qui permet des échanges rapides entre les microcontrôleurs et aussi vers un système IHM (Interface Homme Machine).

Nous étudions dans ce qui suit un problème de modélisation des ondes d’eau régulières générées par un obstacle dans un fluide de la couche N. Notre modèle est une version linéarisée des équations d’Euler multi-couche à surface libre autour d’un état de repos, où nous nous retrouvons avec un problème elliptique impliquant des conditions d’interface. Nous commençons par considérer le problème de Neumann-Kelvin en traitant un écoulement monocouche sur un obstacle situé au fond du domaine physique. Nous étudions le problème à la fois par la méthode variationnelle et par la méthode de Fourier. Nous faisons la distinction entre les cas sous-critiques et supercritiques. Des simulations numériques illustrent les deux cas. La résistance des ondes est également calculée, et des obstacles sans onde sont obtenus dans le cas sous-critique. Chapitre 2 généralise notre résultat du cas monocouche en considérant des variations de la vitesse à l’infini en amont, plus précisément comme une simple fonction de pas. L’intérêt de ce cas est qu’il représente la première étape dans le traitement du problème non linéaire. Ce contexte permet au flux de présenter certaines zones où il est supercritique et d’autres où il est sous-critique. Nous appelons ce cas un flux transcritique. Le cas du flux transcritique doit être traité avec plus de soin, et nous n’envisageons ici qu’une seule des deux situations transcritiques possibles. La solution variationnelle obtenue dans le cas transcritique ne sera pas une solution au problème initial puisqu’elle ne satisfait pas la condition d’harmonicité. La procédure de régularisation doit être effectuée pour corriger la solution variationnelle et obtenir la solution du problème initial. Dans Chaptire 3, nous étudions un fluide stratifié en considérant un écoulement à deux couches avec une approximation de couvercle rigide à la surface libre. Nous traitons le problème à la fois par la méthode variationnelle et par la transformée de Fourier. En utilisant la méthode variationnelle, nous pouvons prouver l’existence et l’unicité de la solution. La méthode de Fourier nous permet de déterminer explicitement la partie variationnelle et la partie sillage de la solution. Nous prouvons lorsque la densité de la couche supérieure est nulle, l’interface entre les couches se comporte exactement comme la surface libre pour le cas d’une seule couche, ce résultat sera également récupéré dans un cadre plus général dans la section suivante. Des simulations numériques complètent ces résultats. Enfin dans le dernier chapitre, nous nous concentrons sur le développement d’une théorie qualitative pour les fluides multicouches. Nous établissons d’abord une théorie générale qui pourrait s’appliquer à divers modèles linéaires stationnaires lorsque la méthode de Fourier est utilisée. Ainsi, l’étude de différents cas possibles liés à l’existence et à la multiplicité des racines réelles pour la relation de dispersion donne un traitement général du problème. Nous appliquons ensuite cette théorie au cas de la couche N avec couvercle rigide et obtenons la solution exacte pour chaque couche. Nous considérons également le cas à trois couches avec couvercle rigide, lorsque la densité de la couche supérieure est nulle, et nous comparons la solution aux interfaces avec le cas à deux couches avec la surface libre. Les simulations numériques illustrent la dynamique des fluides pour chaque couche, Pour les cas où la relation de dispersion présente une ou deux racines deux réelles, et donc où la solution oscille en aval, nous pouvons également construire des obstacles sans sillage.