UPThèses

La notion de l'approximation rationnelle est normalement conçue pour la discrétisation en temps. Dans cette thèse nous mélangeons cette notion avec la notion de la convergence au sens de Kato qui découle d'une discrétisation en espace pour l'équation de transport neutronique. Nous appliquons cette procedure aux schémas d'Euler explicite et implicite, Crank-Nicolson et Prédicateur-Correcteur qui ont le degré de convergence 1,2 et 3 au sens de l'approximation rationnelle. Pour démontrer la convergence nous utiliserons le théorème de Cherno et nous donnons aussi des illustrations numérique pour justifier ces degrés de convergence. Dans le dernier chapitre nous donnons quelques nouvelles généralisations des théorèmes de point fixe de type Schauder et de type Krasnoselskii qui se basent sur la notion de la compacité faible sur des espaces Fréchet ayant la propriété de Dunford- Pettis et sur la notion de la U-équicontraction.

Cette thèse a pour objectif de reconstruire la conductivité isotrope d'un domaine borné à partir des données sur le bord. Pour cela, nous considérons le problème de conductivité inverse et on utilise les méthodes du Dbar de Nachman et de Brown-Uhlmann. A partir des données aux bords, ces méthodes consistent à calculer une fonction complexe dite la transformée scattering, ensuite calculer la conductivité en résolvant une équation (qui contient la transformée scattering) dite l'équation Dbar.Pour des raisons de stabilité, nous approchons les transformées scattering par plusieurs façons et nous étudions l'erreur de ces approximations. Nous montrons la stabilité des méthodes Dbar via les approximations des transformées scattering. Nous étudions en détails le cas des conductivités radiales et nous obtenons des expressions explicites des approximations des transformées scattering. Nous utilisons la méthode de Vainikko pour la résolution numérique de l'équation Dbar et nous introduisons un schéma de point fixe et nous étudions sa convergence. Les résultats numériques obtenus montrent que la méthode est efficace et justifient nos résultats théoriques.

Les océans représentent la majeure partie de la surface de la planète. Couvrant plus de 70% de la surface de la Terre, l'exploration de l'environnement marin est un thème de recherche essentiel. De nombreuses technologies ont été développées afin de surveiller et de suivre l' évolution de l'environnement marin. La vision par ordinateur et le traitement d' images ont été étudiés dans ce cadre ces dernières années afin de développer de nouveaux outils pour l'océanographie. Les images acquises sous l'eau souffrent de nombreuses dégradations dues à l'environnement aquatique. Nous nous sommes intéréssé au développement de traitements prenant en compte la nature physique des phénomènes qui interfèrent lors de l'acquisition. L'exploitation d'un modèle bio-optique a permis d'établir une corrélation entre des propriétés bio-optiques et des attributs colorimétriques des images. L'inversion de la propagation de la lumière a alors été réalisée en établissant un modèle d'estimation des paramètres physiques impliqués à partir des informations colorimétriques de l'image et de mettre en oeuvre une correction complètement automatique d' images sous-marines. Dans un deuxième temps, dans un but de détection d'objets d'intérêts, nous nous sommes interessé à un critère quaternionique permettant une extraction ciblée de zones/objets possèdant une ou plusieurs caractéristiques colorométriques communes par le biais d'une définition hypercomplexe de sous-espaces couleurs basée sur la teinte. Cette méthode a été testée sur des vidéos sous-marines en réalisant une extraction de poissons de couleur unie.

L'objectif de cette thèse est d'améliorer la prédiction de la pression acoustique à l'aide des méthodes à rayons en présence d'obstacles courbes. Nous nous plaçons dans un cadre existant de lancer de faisceaux adaptatif. Dans une première partie, nous traitons du problème général de la diffraction par des obstacles. Nous nous intéressons tout d'abord au problème des diffractions successives par des arêtes de dièdre que nous étendons au calcul des ondes rampantes sur les surfaces courbes par l'intermédiaire de l'utilisation de maillages adaptés, indépendants de la fréquence. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à la reconstruction de surfaces continues et dérivables à partir de maillages triangulaires lissés afin d'améliorer le calcul de la pression réfléchie. De plus, nous imposons que ces surfaces soient exploitables au sein du lancer de faisceaux. Pour cela nous partons des splines de Powell-Sabin que nous étendons à n'importe quel type de surfaces. Ceci implique d'effectuer des changements de projection des splines, ce qui a pour conséquence l'apparition d'ouvertures sur la surface ainsi reconstruite. Nous montrons que ces trous peuvent être comblés à l'aide d'équations implicites de degré 4 ; leur intersection avec des rayons peut ainsi être calculée analytiquement.

Cette thèse traite essentiellement de deux systèmes intégrables associés à des algèbres de Lie simples. Les deux résultats principaux sont la construction et l'intégrabilité au sens de Liouville des réseaux de 2-Toda et de Full Kostant-Toda périodique sur toute algèbre de Lie simple. Ces réseaux sont l'un et l'autre décrit par un champ hamiltonien associé à un crochet de Poisson qui provient d'une algèbre de Lie munie d'une R-matrice. Nous construisons dans les deux cas une grande famille de constantes de mouvement que nous utilisons pour démontrer l'intégrabilité au sens de Liouville des deux systèmes. Nos constructions et nos démonstrations font appel à de nombreux résultats sur les algèbres de Lie simples, leurs Rmatrices, leurs fonctions Ad-invariantes et leurs systèmes de racines.

Au début des années 60, les systèmes de modélisation géométrique sont apparus. D'abord cantonnés à de simples outils d'esquisse, ils ont su, au fil des années, se doter de modèles géométriques plus élaborés (tant sur l'aspect plongement avec les courbes et surfaces paramétriques ou les surfaces implicites que sur l'aspect topologie avec des modèles à base combinatoire) et des informations additionnelles permettant la gestion de divers aspects du processus de modélisation industrielle. Les modèles géométriques permettent de décrire des formes géométriques en s'appuyant sur des structures topologiques très variées. Cependant, les opérations de modèlisation menant à ces descriptions ne prennent pas en compte les intentions de l'utilisateur du fait qu'elles n'utilisent ni son langage, ni ses gestes et moins encore son expérience métier. C'est pourquoi on a associé aux modèles géométriques initiaux des informations supplémentaires connues sous le terme de caractéristiques (features) et en particulier les caractéristiques de formes (rainure, bossage, arrondi, etc.). Si la description par caractéristiques (géométrie, paramètres des opérations de modèlisation de haut niveau, contraintes) est enregistrée pour être exploitée dans la perspective d'être réutilisée (réévaluée en faisant varier les paramètres), on parle alors de modèlisation paramétrique basée historique (ou history-based en terminologie anglo-saxonne). Aussi, un modèle paramétrique, de par sa structure duale, pose le problème de la nomination persistante qui dérive de la nécessité de maintenir un lien entre la géométrie et sa représentation implicite en termes de script de modèlisation. Dans ce contexte, plusieurs solutions ont été proposées. Chacune d'entre elles s'efforce de caractériser (de façon unique et non ambigüe) puis apparier (c'est-à-dire mettre en correspondance) les entités des modèles initial et réévalué. Dans un environnement 3D extrêmement variant, les approches actuelles s'appuient sur des éléments invariants -les faces- pour mettre en oeuvre différents procédés de caractérisation. En les étudiant de plus près, on constate d'une part que ces procédés ne proposent pas de caractérisation homogène pour les entités ou les agrégats d'entités de dimension supèrieure ou égale à 3. Cela limite la généralisation en toute dimension des mécanismes de nomination (caractérisation et appariement). D'autre part, ces méthodes pêchent de façon plus ou moins importante lorsqu'il s'agit de manipuler des objets dans un contexte non-planaire. Dans ce mémoire, nous nous intéressons à la nomination persistante et homogène des entités de toute dimension (sommets, arêtes, agrégats d'arêtes, faces, agrégats de faces (" coques "), volumes, agrégats de volumes, etc.) et celles résultant de l'interaction d'objets non-planaires. Pour ce faire, nous proposons une plate-forme hiérarchique mettant en scène, par des relations d'agrégations, des entités de n'importe quelle dimension. Notre idée est alors de commencer par nommer, c'est-à-dire caractériser et apparier, les entités de la plus petite dimension exploitable : les arêtes. La gestion des noms au niveau des arêtes s'effectue principalement via un graphe traçant l'évolution de ces entités au cours du processus de modèlisation paramétrique. Ensuite, nous faisons en sorte d'exploiter l'appariement calculé entre ces arêtes, en parcourant la structure hiérarchique et agrègative, afin d'en déduire celui entre les entités de dimension supèrieure. Notre solution est implantée sur un noyau géométrique basé sur le modèle des cartes généralisées.

Une carte topologique 3D est un modèle servant à représenter la partition en régions d'une image 3D pour le traitement d'images. Dans ce travail, nous développons des outils permettant de modifier la partition représentée par une carte topologique, puis nous utilisons ces outils afin de proposer des algorithmes de segmentation intégrant des critères topologiques. Dans une première partie, nous proposons trois opérations. La fusion de régions est définie avec une approche locale adaptée à une utilisation interactive et une approche globale pour une utilisation automatisée comme lors d'une segmentation. La division de régions est proposée avec une méthode d'éclatement en voxels et la division à l'aide d'un guide. Enfin, la déformation de la partition est basée sur la définition de points ML-Simples : des voxels pouvant changer de région sans modifier la topologie de la partition. À l'aide de ces opérations, nous mettons en oeuvre dans une seconde partie des algorithmes de segmentation d'images utilisant les cartes topologiques. Notre première approche adapte au modèle des cartes topologiques un algorithme existant qui utilise un critère basé sur la notion de contraste. Nous proposons ensuite des méthodes de calcul d'invariants topologiques sur les régions : les nombres de Betti. Grâce à eux, nous développons un critère topologique de segmentation permettant de contrôler le nombre de tunnels et de cavités des régions. Enfin, nous illustrons les possibilités de tous nos outils en mettant en place une chaîne de traitement pour la segmentation de tumeurs cérébrales dans des images médicales.