UPThèses

Nous décrivons une procédure numérique pour le recalage d'IRM cérébrales 3D. Le problème d'appariement est abordé à travers la distinction usuelle entre le modèle de déformation et le critère d'appariement. Le modèle de déformation est celui de l'anatomie computationnelle, fondé sur un groupe de difféomorphismes engendrés en intégrant des champs de vecteurs. Le décalage entre les images est évalué en comparant les lignes de niveau de ces images, représentées par un courant différentiel dans le dual d'un espace de champs de vecteurs. Le critère d'appariement obtenu est non local et rapide à calculer. On se place dans l'ensemble des difféomorphismes pour rechercher une déformation reliant les deux images. Pour cela, on minimise le critère en suivant le principe de l'algorithme sous-optimal. L'efficacité de l'algorithme est renforcée par une description eulérienne et périodique du mouvement. L'algorithme est appliqué pour le recalage d'images IRM cérébrale 3d, la procédure numérique menant à ces résultats est intégralement décrite. Nos travaux concernent aussi l'analyse des propriétés de l'algorithme. Pour cela, nous avons simplifié l'équation représentant l'évolution de l'image et étudié l'équation simplifiée en utilisant la théorie des solutions de viscosité. Nous étudions aussi le problème de détection de rupture dans la variance d'un signal aléatoire gaussien. La spécificité de notre modèle vient du cadre infill, ce qui signifie que la distribution des données dépend de la taille de l'échantillon. L'estimateur de l'instant de rupture est défini comme le point maximisant une fonction de contraste. Nous étudions la convergence de cette fonction et ensuite la convergence de l'estimateur associé. L'application la plus directe concerne l'estimation de changement dans le paramètre de Hurst d'un mouvement brownien fractionnaire. L'estimateur dépend d'un paramètre p > 0 et nos résultats montrent qu'il peut être intéressant de choisir p < 2.

L’objectif de cette thèse est de proposer plusieurs modèles probabilistes pour représenter l’activité calcique des neurones et comprendre son implication dans la sécrétion d’hormone GnRH. Ce travail s’appuie sur des expériences réalisées à l’INRA Centre Val-de-Loire. Le Chapitre 1 propose une modélisation continue, où nous étudions un processus markovien de type shot-noise. Le Chapitre 2 étudie un modèle discret de type AR(1) basé sur la discrétisation du modèle du Chapitre 1 et propose une première estimation des paramètres. Le Chapitre 3 propose un autre modèle discret de type AR(1) où les innovations sont la somme d’une variable de Bernouilli et d’une variable gaussienne représentant un bruit, avec prise en compte d’une tendance linéaire. Des estimations des paramètres sont proposées dans le but d’une détection des sauts dans les trajectoires des neurones. Le Chapitre 4 étudie une expérience biologique comportant 33 neurones. Avec la modélisation du Chapitre 3, nous détectons des instants de synchronisation (saut simultané d’une grande proportion des neurones de l’expérience) puis à l’aide de simulations, nous testons la qualité de la méthode utilisée et la comparons à une méthode expérimentale.

Cette thèse a pour but l’étude de plusieurs aspects des champs aléatoires shot noise. Nous utilisons la notion d’association pour caractériser la faible dépendance des valeurs de ces champs en des points éloignés et ainsi démontrer la normalité asymptotique vectorielle des estimateurs des moments d’ordre 1 et 2, et expliciter leurs variances et covariances asymptotiques. D’autres informations, spécifiques aux champs aléatoires, proviennent des caractéristiques géométriques des niveaux d’excursion. La densité de périmètre est l’une de celles que nous regardons : les précédents travaux dans la littérature concernent deux catégories de champs, le cas des champs lisses et celui des champs élémentaires. Concer- nant les champs lisses, nous observons et démontrons le comportement gaussien à haute intensité pour la densité de périmètre. À petite intensité, nous mettons en évidence un tout autre comportement qui se rapproche du cadre élémentaire. Une attention particulière est portée au modèle avec un noyau gaussien et une marque exponentielle qui possède des propriétés remarquables. Ce modèle est paramétré par un triplet (λ, µ, σ) que l’on estime à partir des estimateurs consistants et asymptotiquement normaux des moments. Ces propriétés de consistance et de normalité asymptotique sont ainsi transmises aux estimateurs des paramètres. L’approximation de ce champ lisse par une discrétisation du noyau gaussien permet d’obtenir une expression de la densité de périmètre plus malléable, en utilisant le cadre élémentaire et en faisant tendre le pas de discrétisation vers 0. Les formules sont quasi-explicites et permettent, couplées avec la densité d’aire, de procéder à une classification entre les modèles shot noise et gaussien, et ce malgré leur forte ressemblance à haute intensité.