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Wehbe Ali

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  • Study and optimal control of glial cells growth models    - Alsayed Hawraa  -  29 octobre 2021

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    Cette thèse aborde différentes approches thérapeutiques pour les gliomes, soit directement, soit au niveau du métabolisme en utilisant la théorie du contrôle optimal. En effet, nous considérons tout d'abord un système couplant une équation d'Allen-Cahn modélisant la croissance tumorale, avec une équation d'évolution pour la dynamique des nutriments. Le traitement des gliomes est considéré en termes de contrôle qui représente la concentration du médicament cytotoxique à un taux donné. Notre objectif dans cette partie est de choisir le contrôle et le temps de traitement de telle sorte que la croissance tumorale correspondante et sa distribution finale soient la meilleure approximation possible des valeurs désirées. Notre première étape est donc consacrée à l'étude du caractère bien posé de notre système d'état, ce qui nous permet de définir l'opérateur contrôle-état qui est continu. Ensuite, nous montrons l'existence d'un minimiseur de notre fonction de coût, où notre opérateur contrôle-état est différentiable au sens de Fréchet. Ensuite, notre fonctionnelle de coût est également différentiable au sens de Fréchet par rapport au temps et au contrôle. Enfin, pour simplifier la condition d'optimalité nécessaire du premier ordre, nous considérons un système adjoint utilisant le principe de Lagrange pour lequel ce système a une solution régulière. D'autre part, nous savons que la progression et la malignité des gliomes sont liées au métabolisme, en particulier au déchet de glycolyse et de lactate. Ainsi, nous soulignons d'abord le fait que plus le gliome produit de lactate, plus il transporte l'excès dans le capillaire pour soutenir la prolifération, les métastases et la malignité. Par conséquent, nous considérons l'équation d'état comme un problème parabolique modélisant la dynamique du lactate intracellulaire. Notre premier défi consiste à ajouter un contrôle biologiquement pertinent qui agit comme une concentration d'un certain médicament pour inhiber la production de lactate. Puisque la dose de médicament et le temps ne doivent pas dépasser ou descendre en dessous d'un certain seuil dans le traitement du cancer, nous essayons de choisir le meilleur contrôle au moment le plus opportun afin que la concentration de lactate intracellulaire correspondante soit aussi proche que possible de notre évolution souhaitée et de la distribution finale du lactate. Cependant, comme nous l'avons dit plus haut, la cellule retire l'excès de lactate en le transportant à travers la membrane plasmique de la cellule dans le capillaire pour maintenir sa prolifération. Ceci nous a inspiré à cibler le transport du lactate en utilisant un inhibiteur de MCTs qui agit comme un terme de contrôle dans un système couplé de type EDO qui modélise la dynamique du lactate dans les domaines intracellulaire et capillaire. Nous abordons la question de savoir combien de temps un patient doit être traité et quelle est la dose optimale de médicament pour atteindre la concentration de lactate capillaire souhaitée. Pour atteindre notre objectif, nous considérons un problème de minimisation avec une fonction de coût conventionnelle associée au système d'EDO susmentionné. Tout d'abord, nous montrons l'existence d'une solution régulière unique et non négative de notre système EDO, puis nous définissons l'opérateur contrôle-état et montrons qu'il est continu sur la topologie correspondante. Puis, nous montrons l'existence d'une solution à notre problème de minimisation sous des contraintes données. Nous étudions ensuite l'existence d'une dérivée unique de l'opérateur contrôle-état et sa différentiabilité de Fréchet. Nous montrons ensuite la différentiabilité de Fréchet de la fonctionnelle de coût par rapport au temps et au contrôle. De plus, nous définissons le système adjoint par le principe de Lagrange, nous simplifions la condition d'optimalité nécessaire au premier ordre, et enfin, nous mettons en évidence le choix du terme de contrôle par des simulations numériques.

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