UPThèses

Dans cette thèse, nous calculons la forme d’un objet immergé d’aire donnée qui minimise la résistance de vague. Le corps, considéré lisse, avance à vitesse constante sous la surface libre d’un fluide qui est supposé parfait et incompressible. La résistance de vague est la traînée, c’est-à-dire la composante horizontale de la force exercée par le fluide sur l’obstacle. Nous utilisons les équations de Neumann-Kelvin 2D, qui s’obtiennent en linéarisant les équations d’Euler irrotationnelles avec surface libre. Le problème de Neumann-Kelvin est formulé comme une équation intégrale de frontière basée sur une solution fondamentale qui intègre la condition linéarisée à la surface libre. Nous utilisons une méthode de descente de gradient pour trouver un minimiseur local du problème de résistance de vague. Un gradient par rapport à la forme est calculé par la méthode de variation de frontières. Nous utilisons une approche level-set pour calculer la résistance de vague et gérer les déplacements de la frontière de l’obstacle. Nous obtenons une grande variété de formes optimales selon la profondeur de l’objet et sa vitesse.

Dans cette thèse, nous étudions d'un point de vue numérique des équations de Cahn-Hilliard non isotrope et non isotherme modélisées d'après une approche de Gurtin. Concernant l'équation de Cahn-Hilliard-Gurtin non isotrope, dont la structure est proche d'un flot de gradient, nous proposons une discrétisation en espace par éléments finis mixtes, et en même temps par le schéma d'Euler implicite. Nous établissons la stabilité du schéma semi-discrétisé en espace et du schéma complètement discrétisé pour une non linéarité polynômiale. Nous établissons également, pour ces mêmes schémas, des estimations d'erreurs optimales en norme H1 et en norme L2. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques en dimension un et deux d'espace, qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres. Concernant le modèle de Cahn-Hilliard-Gurtin non isotherme, pour lequel il n'existe pas de résultat d'existence locale, nous proposons un schéma totalement discrétisé qui se révèle stable en pratique. Des simulations numériques en dimension un d'espace permettent d'observer des comportements asymptotiques proches du cas isotherme.