UPThèses

Les données longitudinales multivariées jouent un rôle essentiel dans divers domaines de recherche, notamment les sciences médicales et comportementales. Elles permettent aux chercheurs de tester de multiples hypothèses, telles que l'identification de la variation dans le temps d'une variable clinique. La robustesse des inférences obtenues à partir de l'analyse des données longitudinales conduit à une complexité croissante des méthodes de traitement statistique. Cette complexité découle de la structure des données longitudinales et de leurs propriétés statistiques, notamment la dépendance temporelle intra-individuelle. Un autre degré de complexité peut provenir de l'hétérogénéité potentielle due à l'existence de plusieurs sous-populations latentes dans les données de l'étude. Actuellement, il est reconnu dans la littérature que la douleur présente un aspect longitudinal complexe. Il a été démontré que les corrélations entre les différentes dimensions de la douleur se renforcent avec le temps, non seulement lors du passage des douleurs aiguës aux douleurs chroniques, mais aussi au cours de l'évolution des douleurs chroniques. Cela peut être dû à l'accumulation à long terme des fardeaux biopsychosociales générées par la douleur chronique et aux altérations des mécanismes cérébraux reliant la douleur aux émotions. De plus, le caractère socioculturel et émotionnel de la douleur chronique rend son évaluation complexe en raison de l'hétérogénéité par rapport à l'importance des composantes sensorielles, émotionnelles et fonctionnelles dans la vie de chaque individu. Le premier objectif de cette thèse est de démontrer empiriquement l'existence de différents groupes latents de patients dont la qualité de vie est impactée différemment par les composantes sensorielles, émotionnelles et fonctionnelles de la douleur, par l'application d'un mélange de modèles à effet mixte sur des données longitudinales de patients souffrant de douleurs chroniques après une chirurgie rachidienne. Cela permet de justifier la nécessité d'une évaluation hétérogène et spécifique au patient. Le deuxième objectif est de proposer un nouveau modèle non paramétrique formulé comme un mélange de modèles à coefficients variables dans le temps incluant des processus aléatoires. Le modèle proposé a été ajusté avec un algorithme EM modifié incluant une procédure de Backfitting. Nous avons évalué notre modèle par des simulations et des applications sur des données réelles. Ce modèle nous permet d'étudier l'évolution dans le temps des coefficients associant la qualité de vie des patients aux autres composantes de la douleur chronique pour chaque groupe latent. Le troisième et dernier objectif de la thèse est de proposer un mélange de modèles d'analyse factorielle longitudinale qui permet de résumer plusieurs indicateurs longitudinaux en une ou plusieurs variables latentes qui diffèrent entre les composantes du mélange. Un algorithme EM a été proposé pour estimer le modèle. Des méthodes pour garantir la comparabilité des facteurs latents ont été discuté. L'objectif de ce modèle est d'extraire des indicateurs latents et multidimensionnels qui dépendent à la fois du moment de la mesure dans le parcours du patient et des caractéristiques intrinsèques des patients. Le but ultime étant de faire évoluer l'évaluation de la douleur vers une évaluation multidimensionnelle, variable dans le temps et spécifique au patient, en fonction de ses caractéristiques biopsychosociales.

L'urne de Polya est l'exemple typique de processus stochastique avec renforcement. La limite presque sûre (p.s.) en temps existe, est aléatoire et non dégénérée. L'urne de Friedman est une généralisation naturelle dont la limite (proportion asymptotique en temps) n'est plus aléatoire. De nombreux modèles aléatoires sont fondés sur des processus de renforcement comme pour la conception d'essais cliniques au design adaptatif, en économie, ou pour des algorithmes stochastiques à des fins d'optimisation ou d'estimation non paramétrique. Dans ce mémoire, inspirés par de nombreux articles récents, nous introduisons une nouvelle famille de systèmes (finis) de processus de renforcement où l'interaction se traduit par un phénomène de renforcement collectif additif, de type champ moyen. Les deux taux de renforcement (l'un spécifique à chaque composante, l'autre collectif et commun à toutes les composantes) sont possiblement différents. Nous prouvons deux types de résultats mathématiques. Différents régimes de paramètres doivent être considérés : type de la règle (brièvement, Polya/Friedman), taux du renforcement. Nous prouvons l'existence d'une limite p.s. coommune à toutes les composantes du système (synchronisation). La nature de la limite (aléatoire/déterministe) est étudiée en fonction du régime de paramètres. Nous étudions également les fluctuations en prouvant des théorèmes centraux de la limite. Les changements d'échelle varient en fonction du régime considéré. Différentes vitesses de convergence sont ainsi établies.