UPThèses

La thèse de Marion Chommaux a pour cadre le « programme de Langlands local », un domaine particulièrement actif et exigeant de la théorie des représentations des groupes p-adiques. Une branche en plein développement en est le « programme de Langlands relatif' », dont une des figures majeures est Dipendra Prasad. Ce dernier a proposé avec Takloo-Bighash en 2011 une conjecture concernant la distinction des séries discrètes des formes intérieures d'un groupe linéaire général sur un corps p-adique par le centralisateur des inversibles d'une extension quadratique de ce corps: la conjecture s'énonce en termes d'invariants galoisiens subtils. Dans sa thèse Marion résout complétement cette conjecture pour les représentations de Steinberg, et elle la démontre pour les cuspidales de niveau zéro dans le cas non-déployé. Dans ce cas un résultat notable est qu'elle obtient même un contre-exemple à une forme plus générale de la conjecture en question. Les techniques utilisées sont diverses. Dans le premier chapitre sur les représentations de Steinberg, c'est le lemme géométrique de Bernstein-Zelevinsky qui joue un rôle prépondérant dans le résultat de classification, mais des invariants analytiques tels que les fonctions L font leur apparition. Dans le second chapitre il s'agit de la théorie des types de Bushnell-Kutzko (plus précisément celle des paires admissibles de Bushnell-Henniart) ainsi que la géométrie de l'immeuble de Bruhat-Tits qui sont les éléments essentiels en théorie des représentations. Une fois la classification des cuspidales de niveau zéro distinguées obtenue, Marion réduit habilement la vérification de la conjecture du côté galoisien à un résultat de Fröhlich et Queyrut.

Cette thèse se compose de deux parties : dans la première on donne une généralisation d'espaces fibrés construit au-dessus de l'arbre de Bruhat-Tits du groupe GL(2) sur un corps p-adique. Plus précisément, on a construit une tour projective d'espaces fibrés au-dessus du 1-squelette de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. On a montré que toute représentation cuspidale π de GL(n) se plonge avec multiplicité 1 dans le premier espace de cohomologie à support compact du k-ième étage de la tour, où k est le conducteur de π. Dans la deuxième partie on a construit un espace W au-dessus de la subdivision barycentrique de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. Pour étudier les espaces de cohomologie à support compact d'un G-complexe simplicial propre X muni d'un recouvrement équivariant assez particulier, où G est un groupe localement compact totalement discontinu, on a montré l'existence d'une suite spactrale dans la catégorie des représentations lisses de G qui converge vers la cohomologie à support compact de X. En s'appuyant sur ce dernier résultat, on a calculé la cohomologie à support compact de l'espace W comme représentation lisse de GL(n) puis on a montrer que les types cuspidaux de niveau 0 de GL(n) apparaissent avec multiplicité fini dans la cohomologie de certain complexes fini construit au niveau résiduel. Comme conséquence, on montre que les représentations cuspidales de niveau 0 de GL(n) apparaissent dans la cohomologie de W.

Soit K/F une extension quadratique modérément ramifiée de corps locaux non archimédiens. Soit GLm (D) une forme intérieure de GLn (F) et GLμ (∆) = (Mm (D) ⊗ K)× . Alors GLμ (∆) est une forme intérieure de GLn (K), les quotients GLμ (∆)/GLm (D) et GLn (K)/GLn (F) sont des espaces symétriques. En utilisant la paramétrisation de Silberger et Zink, nous déterminons des critères de GLm (D)-distinction pour les cuspidales de niveau 0 de GLμ (∆), puis nous prouvons qu’une cuspidale de niveau 0 de GLn (K) est GLn (F)-distinguée si et seulement si son image par la correspondance de Jacquet-Langlands est GLm (D)-distinguée. Puis, dans le cas particulier où μ = 2 et m = 1, nous regardons le cas des séries discrètes de niveau 0 non cuspidales, en utilisant le système de coefficients sur l’immeuble associé à la représentation, donné par Schneider et Stuhler.