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Modélisation mathématique et analyse des modèles de croissance et de propagation

Cette thèse est divisée en deux parties indépendantes. La première partie se situe dans le contexte de l’analyse théorique et numérique de quelques généralisations de Cahn-Hilliard et Allen-Cahn équations. Tout d’abord, nous considérons une équation de Cahn-Hilliard avec un terme de prolifération et dotée de conditions aux limites de Neumann. Un tel modèle a, en particulier, des applications en biologie. Nous commençons par prendre un terme non linéaire régulier. Nous prouvons l’existence et le caractère unique de la solution locale (dans le temps) au problème. Ensuite, nous considérons un terme logarithmique non linéaire. Nous prouvons l’existence d’une solution locale (dans le temps) biologiquement pertinente au problème. De plus, nous donnons une condition qui assure l’existence d’une solution globale (dans le temps). On donne des simulations numériques qui confirment les résultats théoriques obtenus. Ensuite, nous étudions une équation d’Allen-Cahn basée sur un équilibre de microforce et un paramètre d’ordre sans contrainte, nous ajoutons un terme source à l’équation. Nous considérons d’abord le terme source, g(s) = βs, et obtenir l’existence, l’unicité et la régularité des solutions. Nous prouvons que, sur des intervalles de temps finis, les solutions convergent vers celles de l’équation de Cahn-Hilliard-Oono lorsqu’un petit paramètre va à zéro puis à celles de l’équation originale de Cahn-Hilliard lorsque β → 0 +. Ensuite, nous considérons un autre terme source et obtenons des résultats similaires. Dans ce cas, nous prouvons que les solutions convergent vers celles d’une équation de Cahn-Hilliard sur des intervalles de temps finis lorsqu’un petit paramètre va à zéro. Nous donnons enfin quelques simulations numériques qui confirment les résultats théoriques. Dans la deuxième partie de cette thèse, trois modèles mathématiques stochastiques sont développés pour la propagation de la maladie à coronavirus (COVID-19). Ces modèles prennent en compte les caractéristiques particulières connues de cette maladie tels que l’existence de cas infectieux non détectés et les différentes conditions sociales et infectieuses des personnes infectées. En particulier, ils comprennent une nouvelle approche qui considère la structure sociale, la fraction des cas détectés par rapport au nombre total réel de cas infectés, l’afflux de personnes infectées non détectées en provenance de l’extérieur des frontières, ainsi que la recherche des contacts et la période de quarantaine pour les voyageurs. Deux de ces modèles sont des modèles discrets d’espace temps-états discrets (l’un est simplifié et l’autre est complet) tandis que le troisième est un modèle intégro-différentiel stochastique temps-espace d’états continu obtenu par un passage formel à la limite du modèle discret simplifié proposé. D’un point de vue numérique, le cas particulier du Liban a été étudié et les données communiquées ont été utilisées pour estimer les paramètres complets du modèle discret, qui peuvent être intéressants pour estimer la propagation de la COVID-19 dans d’autres pays. Les résultats de simulation obtenus ont montré un bon accord avec les données rapportées. De plus, une analyse des paramètres est présentée afin de mieux comprendre le rôle de certains paramètres. Cela peut aider les décideurs politiques à décider de différentes mesures de distanciation sociale.

Mots-clés libres : Équation de Cahn-Hilliard, équation d'Allen-Cahn, terme de prolifération, terme non linéaire régulier, terme non linéaire logarithmique, existence, simulations, paramètre d’ordre sans contrainte, passage à la limite, modélisation stochastique discrète, COVID-19, modèle stochastique intégro-différentiel continu.

Rameau (langage normalisé) :
• Simulation numérique
  
• Équations de Cahn-Hilliard
  
• Covid-19
  
• Modèles stochastiques