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Étude de la stabilité de deux systèmes multidimensionnels

Ce travail présente les résultats de recherches sur la stabilité de deux systèmes multidimensionnels (aussi appelés systèmes nD), à savoir les modèles de Fornasini-Marchesini et Roesser. L’objectif principal est d’analyser différentes notions de stabilités, précisément les notions de stabilité asymptotique, stabilité structurelle et stabilité exponentielle et de généraliser ces notions du cas 1D au cas 2D. Le premier chapitre du mémoire est donc l’occasion de rappeler les définitions utilisées dans le cas 1D, mettre en évidence les liens entre ces définitions et faire un bilan des différentes généralisations de ces définitions au cas 2D dans la littérature. Le deuxième chapitre présente des résultats techniques sur les solutions des modèles de Fornasini-Marchesini dans le cas linéaire discret. Ces résultats seront ensuite utilisés dans le troisième chapitre pour démontrer les principaux résultats de cette thèse : la stabilité exponentielle et la stabilité structurelle, elles impliquent la stabilité asymptotique mais un contre-exemple montre que la stabilité asymptotique n’est pas équivalente aux deux autres. Le quatrième chapitre introduit le concept de contrôle et propose en utilisant des approches algébriques de construire une commande sur un système de Fornasini-Marchesini en utilisant l’équivalence algébrique des deux modèles étudiés. Enfin, le dernier chapitre aborde les modèles 2D continus de Roesser, très peu étudiés dans la littérature et analyse le problème de l’existence et l’unicité des solutions.

Mots-clés libres : Systèmes multidimensionnels, stabilité asymptotique, stabilité structurelle, stabilité exponentielle, systèmes linéaires, systèmes discrets, modèles 2D, modèles de Roesser, modèles de Fornasini-Marchesini..

Rameau (langage normalisé) :
• Systèmes linéaires
  
• Systèmes non linéaires
  
• Équations aux différences
  
• Équations différentielles non linéaires
  
• Liapounov, Stabilité de