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Léonard-Fortuné Danielle

Conditions de compatibilité en mécanique des solides : Méthode de Darboux

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Index

École doctorale :

  • SPI&A - Sciences pour l'ingénieur et aéronautique (1992-2009)

UFR ou institut :

  • UFR des sciences fondamentales et appliquées (SFA)

Secteur de recherche :

  • Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces

Section CNU :

  • Mécanique, génie mécanique, génie civil

Résumé

  • Français
  • English
 

Français

Conditions de compatibilité en mécanique des solides : Méthode de Darboux

Le fil conducteur est celui des conditions de compatibilité des systèmes aux dérivées partielles de la Mécanique des Solides Déformables. L'idée initiale, présentée dans l'ouvrage de Gaston Darboux sur la théorie générale des surfaces, est reprise. Elle consiste à remplacer les symboles de Christoffel par des vecteurs appelés vecteurs de Darboux. Ces vecteurs sont associés à des rotations de la même manière qu'un vecteur rotation instantanée est mis en évidence lors de l'étude du mouvement d'un solide rigide. Les conditions de compatibilité en grandes déformations sont ainsi revisitées à la Darboux. Deux systèmes aux dérivées partielles découplés permettent d'obtenir le déplacement du milieu déformé en deux intégrations successives. L'étude de la nature tensorielle des objets exhibés montre la validité de nos concepts. Une étude inédite des variétés riemanniennes de dimension 3 de même courbure que la sphère est développée. De même, la théorie des surfaces est revue en introduisant les vecteurs de Darboux. La reconstruction d'une surface connaissant ses deux formes fondamentales est proposée conformément au théorème de Bonnet. L'étude particulière d'une surface minimale conduit à un processus de construction effectif à partir de la connaissance du bord. La notion de surface minimale soeur est dégagée, deux exemples sont présentés. Enfin l'équivalence entre l'annulation du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel dans une coque et les conditions de Gauss-Codazzi-Mainardi sur sa surface moyenne est établie. Des perspectives, regardant le solide rigide comme une variété riemannienne de dimension 6, sont évoquées.

Mots-clés libres : conditions de compatibilité, décomposition polaire, tenseur de courbure, tenseur de Ricci, surfaces, conditions de Gauss-Codazzi-Mainardi, première et seconde forme fondamentale, surfaces minimales, coques.

    Rameau (langage normalisé) :
  • Milieux continus, Mécanique des
  • Déformations (mécanique)
  • Surfaces minimales
  • Coques (ingénierie)

English

Compatibility conditions in solids mechanics, Darboux method

The compatibility conditions, associated with partial differential equation of deformable bodies, are used as a guideline of the present work. The basic idea, first presented by Darboux in the context of the general theory of surfaces, consists in replacing the Christoffel symbols by vectors called the Darboux vectors. These vectors are related to rotations in a similar way as the instantaneous rotation vectors in rigid body dynamics. The compatibility conditions are revisited here in the framework of large strain. Two systems of decoupled partial differential equation allow to obtain the displacement of the deformed body by successive integrations. Our results show the validity of the developed tools. An original investigation of threedimensional Riemann manifolds, with the same curvature as a sphere, is carried out. The theory of surfaces is also studied by introducing the Darboux vectors. A surface is rebuilt from his two fundamental forms in accordance with the Bonnet theorem. The particular study of a minimal surface leads to an efficient building process from the knowledge of the boundary. A new concept, called sister minimal surface, is introduced and its application is developed in the case of two examples. Finally the equivalence between the cancellation of the Riemann-Christoffel curvature tensor in a shell and the Gauss-Codazzi-Mainardi conditions on its mean surface is established. Further developments of the present work would be concerned with the rigid body, treated as a six-dimensional Riemann manifold.

Notice

Diplôme :
Doctorat d'Université
Établissement de soutenance :
Université de Poitiers
UFR, institut ou école :
UFR des sciences fondamentales et appliquées (SFA)
Laboratoire :
L.M.S. - Lab. de mécanique des solides
Domaine de recherche :
Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces
Directeur(s) de thèse :
Claude Vallée
Date de soutenance :
18 décembre 2008
Président du jury :
Claude Vallée
Rapporteurs :
Claude Vallée, Gery De Saxcé, Bernadette Miara
Membres du jury :
Hassan Emamirad, Dominique Chevallier, Adnan Ibrahimbegovic

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