Nguema Ndong Florent
Étude de la dynamique symbolique des développements en base négative, système de Lyndon
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Résumé
Français
Étude de la dynamique symbolique des développements en base négative, système de Lyndon
Ce travail est consacré à l'étude de systèmes de Lyndon (pour la relation d'ordre alterné) et à la dynamique symbolique des développements des nombres en base négative. Pour un réel ß > 1 fixé, nous construisons un code préfixe récurrent positif permettant non seulement de montrer l'intrinsèque ergodicité du —ß-shift mais aussi de déterminer la fonction zêta qui lui est associée. Nous étudions les conditions pour lesquelles le —ß-shift possède la spécification. En outre, lorsque ß est strictement plus petit que le nombre d'or, le langage du —ß-shift admet des mots intransitifs. Cet état de fait engendre dans le système dynamique des cylindres négligeables par rapport à la mesure d'entropie maximale. Ces cylindres génèrent sur Iß=[—ß/(ß+1),1/(ß+1)[ de petits intervalles de mesure nulle (la mesure considérée étant l'unique mesure ergodique sur Iß). Nous en faisons une étude détaillée, en particulier nous déterminons ces intervalles "trous". Par ailleurs, nous étudions l'unicité des systèmes de numération des entiers relatifs en base négative et nous montrons qu'à chaque mot de Lyndon correspond un tel système.
Mots-clés libres : Théorie ergodique, —ß-développement, systèmes dynamiques codés, fonction zêta, dynamique symbolique, système de Lyndon, numération.
- Théorie ergodique
- Systèmes dynamiques
- Développement en base négative
- Fonctions zêta
- Dynamique symbolique
English
Study of the symbolic dynamics of expansions in negative base, Lyndon system
This work deals with the study of the Lyndon systems (for alternate order) and the symbolic dynamics of the expansions of real numbers in negative base. For a given real ß > 1, we show the intrinsic ergodicity of the —ß-shift using a positive recurring prefix code and we determine the associated zeta function. We study the conditions for which the —ß-shift admits the specification property. Moreover, when ß is less than golden ratio, the language of the —ß-shift contains intransitive words. These words lead to some cylinders negligible with respect to the measure with maximal entropy. In the interval Iß=[—ß/(ß+1),1/(ß+1)[, these cylinders correspond to some gaps: small interval with measure zero (with respect to the unique ergodic measure on Iß). We make a detailed study of these gaps. Otherwise, we study the uniqueness of the number systems of integers in negative base and we show that to each Lyndon word corresponds to a such system.
Keywords : Ergodic theory, —ß-expansion, coded dynamical systems, symbolic dynamics, Lyndon system, numeration.
Notice
- Diplôme :
- Doctorat d'Université
- Établissement de soutenance :
- Université de Poitiers
- UFR, institut ou école :
- UFR des sciences fondamentales et appliquées (SFA)
- Laboratoire :
- Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers)
- Domaine de recherche :
- Mathématiques et leurs interactions
- Directeur(s) de thèse :
- Anne Bertrand Mathis
- Date de soutenance :
- 26 septembre 2013
- Président du jury :
- Anne Siegel
- Rapporteurs :
- Taizo Sadahiro, Yann Bugeaud
- Membres du jury :
- Anne Bertrand Mathis, Julien Michel, Lingmin Liao, Marc Peigné
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